Considere a cônica y= \pm 2 \sqrt{1-\frac{x^{2}}{9}} e determine as equações das retas tangentes à ela que possuem inclinação m=2.

Passo 1

O enunciado dá a cônica
\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1
cuja forma explícita é y=\pm2\sqrt{1-\frac{x^2}{9}}. Queremos as retas tangentes a essa elipse cuja inclinação é m=2. Para isso, vamos usar derivação implícita para obter y' e depois impor y'=2.

Passo 2

Derivando implicitamente
\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1
em relação a x, obtemos
\frac{2x}{9}+\frac{2y}{4}\,y'=0
Logo
y'=-\frac{2x}{9y}.

Passo 3

Impondo a condição de inclinação y'=2, vem
-\frac{2x}{9y}=2 \quad\Longrightarrow\quad x=-9y.
Como o ponto (x,y) também satisfaz a elipse, substituímos em
\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1
e obtemos
9y^2+\frac{y^2}{4}=1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{37y^2}{4}=1 \quad\Longrightarrow\quad y=\pm\frac{2}{\sqrt{37}},
e então
x=-9y=\mp\frac{18}{\sqrt{37}}.

Passo 4

Em cada ponto \bigl(x_0,y_0\bigr) a reta tangente com inclinação 2 é
y-y_0=2\,(x-x_0).
  1. Para \bigl(-\tfrac{18}{\sqrt{37}},\tfrac{2}{\sqrt{37}}\bigr):
y-\frac{2}{\sqrt{37}}=2\Bigl(x+\frac{18}{\sqrt{37}}\Bigr) \quad\Longrightarrow\quad y=2x+\frac{38}{\sqrt{37}}.
  1. Para \bigl(\tfrac{18}{\sqrt{37}},-\tfrac{2}{\sqrt{37}}\bigr):
y+\frac{2}{\sqrt{37}}=2\Bigl(x-\frac{18}{\sqrt{37}}\Bigr) \quad\Longrightarrow\quad y=2x-\frac{38}{\sqrt{37}}.

Resposta

y=2x+\frac{38}{\sqrt{37}} \quad\text{e}\quad y=2x-\frac{38}{\sqrt{37}}.

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