Considere a hipérbole dada pela equação:
\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{4}=1
(a) Encontre a equação da reta tangente à hipérbole no ponto P=(3 \sqrt{2}, 2).
(b) Determine a equação da reta no normal à hipérbole no mesmo ponto P.
(c) Verifique se a reta r: 2 x-3 y-6=0 é secante, tangente ou exterior à hipérbole.

Passo 1

O enunciado dá a hipérbole
\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{4}=1
e pede: (a) reta tangente em P=(3\sqrt{2},2); (b) reta normal em P; (c) classificar a reta r\colon 2x-3y-6=0 em relação à hipérbole.
Vamos usar diferenciação implícita para obter o coeficiente angular da tangente e, em seguida, derivar a normal e fazer a interseção de r com a curva.

Passo 2

Diferenciando implicitamente
\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{4}=1
em relação a x, obtemos
\frac{2x}{9}-\frac{2y}{4}\,\frac{dy}{dx}=0.
Logo, o coeficiente angular da tangente é
m_{\text{tan}} =\frac{dy}{dx} =\frac{\tfrac{x}{9}}{\tfrac{y}{4}} =\frac{4x}{9y}.

Passo 3

Em P=(3\sqrt{2},2) temos
m_{\text{tan}} =\frac{4\,(3\sqrt{2})}{9\cdot2} =\frac{12\sqrt{2}}{18} =\frac{2\sqrt{2}}{3}.
A equação da reta tangente fica
y-2=\frac{2\sqrt{2}}{3}\,(x-3\sqrt{2}),
que, ao simplificar, dá
y=\frac{2\sqrt{2}}{3}\,x-2.

Passo 4

O coeficiente angular da normal é o negativo do recíproco de m_{\text{tan}}, isto é,
m_{\text{norm}} =-\frac{1}{m_{\text{tan}}} =-\frac{3}{2\sqrt{2}}.
Logo a normal em P é
y-2=-\frac{3}{2\sqrt{2}}\,(x-3\sqrt{2}),
ou, em forma linear simplificada,
y=-\frac{3}{2\sqrt{2}}\,x+\frac{13}{2}.

Passo 5

Para ver se r\colon 2x-3y-6=0 intersecta a hipérbole, isolamos
y=\frac{2x-6}{3}
e substituímos em
\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{4}=1.
Isso leva a uma equação quadrática em x com uma única solução x=3. Assim há interseção simples (multiplicidade 2), ou seja, reta tangente.

Resposta

(a) y=\tfrac{2\sqrt{2}}{3}\,x-2.
(b) y=-\tfrac{3}{2\sqrt{2}}\,x+\tfrac{13}{2}.
(c) A reta r é tangente à hipérbole.

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