Considere a hipérbole dada pela equação:
(a) Encontre a equação da reta tangente à hipérbole no ponto
.
(b) Determine a equação da reta no normal à hipérbole no mesmo ponto
.
(c) Verifique se a reta
é secante, tangente ou exterior à hipérbole.
(b) Determine a equação da reta no normal à hipérbole no mesmo ponto
(c) Verifique se a reta
Passo 1
O enunciado dá a hipérbole
e pede: (a) reta tangente em
; (b) reta normal em
; (c) classificar a reta
em relação à hipérbole.
Vamos usar diferenciação implícita para obter o coeficiente angular da tangente e, em seguida, derivar a normal e fazer a interseção de com a curva.
Vamos usar diferenciação implícita para obter o coeficiente angular da tangente e, em seguida, derivar a normal e fazer a interseção de
Passo 2
Diferenciando implicitamente
em relação a
, obtemos
Logo, o coeficiente angular da tangente é
Passo 3
Em
temos
A equação da reta tangente fica
que, ao simplificar, dá
Passo 4
O coeficiente angular da normal é o negativo do recíproco de
, isto é,
Logo a normal em
é
ou, em forma linear simplificada,
Passo 5
Para ver se
intersecta a hipérbole, isolamos
e substituímos em
Isso leva a uma equação quadrática em
com uma única solução
. Assim há interseção simples (multiplicidade 2), ou seja, reta tangente.
Resposta
(a)
.
(b) .
(c) A reta é tangente à hipérbole.
(b)
(c) A reta