Considere a hipérbole dada pela equação:
\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1
Encontre os valores do coeficiente angular m da reta r: y=m x+5 para que ela seja tangente à hipérbole.

Passo 1

O enunciado dá a hipérbole
\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1
e a reta r:y=mx+5. Queremos os valores de m para que haja tangência, isto é, para que o sistema formado por hipérbole e reta tenha exatamente uma solução em x. Para isso vamos substituir y=mx+5 na equação da hipérbole e exigir que a equação resultante em x tenha discriminante zero.

Passo 2

Substituindo y=mx+5 em \frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1 obtemos
\frac{x^{2}}{16}-\frac{(m x+5)^{2}}{9}-1=0.
Multiplicando ambos os lados por 144 (o mínimo múltiplo de 16 e 9) fica
9x^{2}-16\bigl(m^{2}x^{2}+10mx+25\bigr)-144=0,
ou seja
(9-16m^{2})\,x^{2}-160m\,x-544=0.

Passo 3

Para que essa equação quadrática em x tenha uma única solução, o discriminante \Delta deve ser zero.
\Delta = (-160m)^{2}-4\,(9-16m^{2})\,(-544).
Calculando cada termo:
(-160m)^{2}=25600m^{2},
-4\,(9-16m^{2})\,(-544)=+2176\,(9-16m^{2})=19584-34816m^{2}.
Logo
\Delta =25600m^{2}+19584-34816m^{2} =19584-9216m^{2}.
Impondo \Delta=0
19584-9216m^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad m^{2}=\frac{19584}{9216}=\frac{17}{8}.

Passo 4

Portanto
m=\pm\sqrt{\frac{17}{8}} =\pm\frac{\sqrt{17}}{2\sqrt{2}} =\pm\frac{\sqrt{34}}{4}.

Resposta

m=\pm\sqrt{\tfrac{17}{8}} \quad\text{ou}\quad m=\pm\frac{\sqrt{34}}{4}.

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