Use integração dupla para calcular o volume do sólido.
O sólido limitado acima pelo paraboloide
, lateralmente pelo cilindro circular
e abaixo pelo plano
.
O sólido limitado acima pelo paraboloide
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido cuja face superior é o paraboloide
, a face inferior é o plano “xy” (isto é,
) e a projeção lateral no plano
é o disco definido por
O método é usar integração dupla no plano
com a fórmula
Passo 2
A projeção
no plano
vem da condição lateral
e sobre
temos
Passo 3
Logo o volume é
Passo 4
Para facilitar, fazemos a mudança de variáveis
de modo que
vira o disco
e
Em coordenadas polares
no plano
temos
Passo 5
Escrevendo o integrando e separando em três termos:
então
Isso se decompõe em
- Por simetria
, pois tem média zero em . - Calculamos
Passo 6
Somando os termos: