Use integração dupla para calcular o volume do sólido.
O sólido limitado acima pelo paraboloide z=x^2+y^2, lateralmente pelo cilindro circular x^2+(y-1)^2=1 e abaixo pelo plano x y.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido cuja face superior é o paraboloide ,z = x^2 + y^2, a face inferior é o plano “xy” (isto é, z = 0) e a projeção lateral no plano xy é o disco definido por
x^2 + (y - 1)^2 <= 1
O método é usar integração dupla no plano xy com a fórmula
V = integral duplaD l(ztopo - zfundor),dA

Passo 2

A projeção D no plano xy vem da condição lateral
x^2 + (y - 1)^2 <= 1
e sobre D temos
ztopo = x^2 + y^2, zfundo = 0

Passo 3

Logo o volume é
V = integral duplaD l(x^2 + y^2 - 0r),dA = integral duplaD l(x^2 + y^2r),dA

Passo 4

Para facilitar, fazemos a mudança de variáveis
u = x, v = y - 1
de modo que D vira o disco u^2 + v^2 <= 1 e
x^2 + y^2 = u^2 + (v+1)^2 = u^2 + v^2 + 2v + 1, dA = du,dv
Em coordenadas polares (r,theta) no plano uv temos
u = rcostheta, v = rsintheta, dA = r,dr,dtheta, 0 <= r <= 1,;0 <= theta <= 2pi

Passo 5

Escrevendo o integrando e separando em três termos:
x^2 + y^2 = r^2 + 2rsintheta + 1,
então
V = integral0^2pi!integral0^1 l(r^2 + 2rsintheta + 1r),r,dr,dtheta
Isso se decompõe em
I1 = integral0^2pi!integral0^1 r^3,dr,dtheta, I2 = integral0^2pi!integral0^1 2r^2sintheta,dr,dtheta, I3 = integral0^2pi!integral0^1 r,dr,dtheta
  • Por simetria I2 = 0, pois sintheta tem média zero em [0,2pi].
  • Calculamos I1 = integral0^2pi!l[tfracr^44r]0^1 dtheta = 2picdottfrac14 = tfracpi2,
I3 = integral0^2pi!l[tfracr^22r]0^1 dtheta = 2picdottfrac12 = pi

Passo 6

Somando os termos:
V = I1 + I2 + I3 = tfracpi2 + 0 + pi = tfrac3pi2

Resposta

V = 3pi2

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