Verifique se os vetores abaixo são combinação linear dos vetores v1=(1,-1,1), v2=(2,2,1).
w=(7,1,3). Podemos dizer que w é gerado por v1 e v2?

Passo 1

O enunciado pede para verificar se existe uma combinação linear
alpha v1+beta v2=w
com v1=(1,-1,1), v2=(2,2,1) e w=(7,1,3).
O conteúdo é estudar Spanv1,v2 e montar um sistema linear para alpha e beta.

Passo 2

Escrevemos o sistema obtido das três coordenadas:
alpha +2beta = 7, -alpha +2beta = 1, alpha +beta = 3
Somando a primeira e a segunda equação cancelamos alpha:
(alpha- alpha) + (2beta+2beta) = 7+1 Longrightarrow 4beta = 8 Longrightarrow beta = 2
Substituindo em alpha+2beta=7 vem
alpha +2cdot2 = 7 Longrightarrow alpha = 3

Passo 3

Verificamos agora a terceira equação alpha+beta=3 com alpha=3 e beta=2:
3 + 2 = 5 neq 3
Isso mostra que não há (alpha,beta) que satisfaça simultaneamente todas as três equações, logo o sistema é inconsistente.

Resposta

Não, w não é combinação linear de v1 e v2; ou seja, w não pertence ao espaço gerado por v1 e v2.

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