Determine se as séries de Taylor (ou Maclaurin) das funções centrada em a e verifique se a função é igual a sua série de Taylor (ou Maclaurin)
e) h(x)=e^x, a=2

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor de h(x)=e^x centrada em a=2 e quer verificar se a função coincide com sua série. O conteúdo aqui é a definição de série de Taylor:
h(x)=sumn=0^inftyh^(n)(a)n!(x-a)^n,
além do teste de convergência (raio de convergência e resto de Lagrange).

Passo 2

Como todas as derivadas de e^x são iguais a e^x, temos
h^(n)(x)=e^x Longrightarrow h^(n)(2)=e^2
Logo, o coeficiente geral da série em torno de a=2 é tfrace^2n!.

Passo 3

Substituindo na fórmula de Taylor, obtemos
e^x =sumn=0^inftye^2n!(x-2)^n =e^2sumn=0^infty(x-2)^nn!

Passo 4

Para o raio de convergência, aplicamos o critério da razão:
limntoinfty |(x-2)^n+1/(n+1)!(x-2)^n/n!| =limntoinfty|x-2|n+1=0,
logo o raio é infinito e a série converge para todo xinR.
Além disso, o resto de Lagrange é
Rn(x) =e^xi(n+1)!(x-2)^n+1 para algum xi entre 2 e x
Como l|Rn(x)r|<=e^max2,x(n+1)!|x-2|^n+1to0
quando ntoinfty, concluímos que a série converge exatamente a e^x.

Resposta

e^x =e^2sumn=0^infty(x-2)^nn!,
com raio de convergência infinito, e de fato h(x)=e^x é igual à sua série de Taylor para todo xinR.

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