Determine se as séries de Taylor (ou Maclaurin) das funções centrada em e verifique se a função é igual a sua série de Taylor (ou Maclaurin)
e)
Passo 1
O enunciado pede a série de Taylor de centrada em e quer verificar se a função coincide com sua série. O conteúdo aqui é a definição de série de Taylor:
além do teste de convergência (raio de convergência e resto de Lagrange).
Passo 2
Como todas as derivadas de são iguais a , temos
Logo, o coeficiente geral da série em torno de é .
Passo 3
Substituindo na fórmula de Taylor, obtemos
Passo 4
Para o raio de convergência, aplicamos o critério da razão:
logo o raio é infinito e a série converge para todo xinR.
Além disso, o resto de Lagrange é
Rn(x) =e^xi(n+1)!(x-2)^n+1 para algum xi entre 2 e x
Como l|Rn(x)r|<=e^max2,x(n+1)!|x-2|^n+1to0
quando ntoinfty, concluímos que a série converge exatamente a e^x.
Resposta
e^x =e^2sumn=0^infty(x-2)^nn!,
com raio de convergência infinito, e de fato h(x)=e^x é igual à sua série de Taylor para todo xinR.