Considere o conjunto
Quantas são as permutações caóticas de
que têm 10, 11 e 12 como seus últimos três elementos?
Quantas são as permutações caóticas de
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo! A gente tem o conjunto $ A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} $ e precisa descobrir quantas “permutações caóticas” desse conjunto têm os números 10, 11 e 12 como os últimos três elementos. Aqui, “permutações caóticas” são aquelas em que nenhum número fica na posição original, conhecidas também como derangements. Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinatória e derangements.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um derangement. É uma permutação onde nenhum elemento está na sua posição original. Por exemplo, se tivermos $ {1,2,3} $, a permutação $ {2,3,1} $ é um derangement porque nenhum número está na posição que originalmente ocupava.
Passo 3
Agora, queremos encontrar derangements de $ A $ onde os números 10, 11 e 12 são os últimos três elementos. Isso significa que:
- Os números 10, 11 e 12 ocupam as posições 10, 11 e 12, mas nenhum deles está na sua posição original.
- Os primeiros 9 números ($ {1,2,3,4,5,6,7,8,9} $) também devem estar em posições diferentes das originais.
Passo 4
Vamos dividir o problema em duas partes:
- Primeiras 9 posições: Precisamos encontrar derangements dos números $ {1,2,3,4,5,6,7,8,9} $.
- Últimas 3 posições: Precisamos encontrar derangements dos números $ {10,11,12} $.
Passo 5
Primeiro, calculamos o número de derangements para as primeiras 9 posições. A fórmula para derangements de $ n $ elementos é:
Para $ n = 9 $:
Passo 6
Em seguida, calculamos o número de derangements para os últimos 3 números $ {10,11,12} $. Usando a mesma fórmula para $ n = 3 $:
Passo 7
Finalmente, para encontrar o total de permutações caóticas que atendem à condição, multiplicamos os derangements das duas partes:
Resposta
Existem 2.669.922 permutações caóticas do conjunto $ A $ que têm os números 10, 11 e 12 como seus últimos três elementos.