Considere o conjunto A=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12
Quantas são as permutações caóticas de A que têm 10, 11 e 12 como seus últimos três elementos?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo! A gente tem o conjunto $ A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} $ e precisa descobrir quantas “permutações caóticas” desse conjunto têm os números 10, 11 e 12 como os últimos três elementos. Aqui, “permutações caóticas” são aquelas em que nenhum número fica na posição original, conhecidas também como derangements. Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinatória e derangements.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um derangement. É uma permutação onde nenhum elemento está na sua posição original. Por exemplo, se tivermos $ {1,2,3} $, a permutação $ {2,3,1} $ é um derangement porque nenhum número está na posição que originalmente ocupava.

Passo 3

Agora, queremos encontrar derangements de $ A $ onde os números 10, 11 e 12 são os últimos três elementos. Isso significa que:
  • Os números 10, 11 e 12 ocupam as posições 10, 11 e 12, mas nenhum deles está na sua posição original.
  • Os primeiros 9 números ($ {1,2,3,4,5,6,7,8,9} $) também devem estar em posições diferentes das originais.

Passo 4

Vamos dividir o problema em duas partes:
  1. Primeiras 9 posições: Precisamos encontrar derangements dos números $ {1,2,3,4,5,6,7,8,9} $.
  2. Últimas 3 posições: Precisamos encontrar derangements dos números $ {10,11,12} $.

Passo 5

Primeiro, calculamos o número de derangements para as primeiras 9 posições. A fórmula para derangements de $ n $ elementos é:
n
Para $ n = 9 $:
!n = n! (1 - 11! + 12! - 13! + dots + (-1)^n 1n!)

Passo 6

Em seguida, calculamos o número de derangements para os últimos 3 números $ {10,11,12} $. Usando a mesma fórmula para $ n = 3 $:
10,11,12

Passo 7

Finalmente, para encontrar o total de permutações caóticas que atendem à condição, multiplicamos os derangements das duas partes:
!9 times !3 = 1334961 times 2 = 2.669.922

Resposta

Existem 2.669.922 permutações caóticas do conjunto $ A $ que têm os números 10, 11 e 12 como seus últimos três elementos.

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