Uma fábrica de chocolate produz 8 tipos de bombons que são vendidos em caixas de 20 bombons sortidos. Quantas caixas diferentes podem ser formadas?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma fábrica que produz 8 tipos diferentes de bombons e vende caixas com 20 bombons sortidos. A gente precisa descobrir quantas combinações diferentes de caixas podem ser formadas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinações com repetição, que é uma parte da combinatória na matemática. Essencialmente, queremos saber de quantas maneiras podemos escolher 20 bombons entre 8 tipos, onde pode repetir tipos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são combinações com repetição. Diferente das combinações simples, onde cada item pode ser escolhido no máximo uma vez, aqui podemos escolher o mesmo tipo de bombom várias vezes. A fórmula para calcular combinações com repetição é:
C(n + k - 1, k) = dbinomn + k - 1k
Onde:
  • $ n $ é o número de tipos de bombons (no caso, 8),
  • $ k $ é o número de bombons que vamos selecionar (no caso, 20).

Passo 3

Aplicando os valores na fórmula, temos:
C(8 + 20 - 1, 20) = dbinom2720
Mas calcular dbinom2720 diretamente pode ser trabalhoso, então lembrando que dbinomnk = dbinomnn - k, podemos simplificar para:
dbinom277

Passo 4

Agora, vamos calcular dbinom277. A fórmula para combinação é:
dbinomnk = n!k!(n - k)!
Então:
dbinom277 = 27!7! times 20!

Passo 5

Calculando isso:
27!7! times 20! = 888030

Resposta

Existem 888.030 combinações diferentes de caixas de 20 bombons que podem ser formadas.

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