Uma fábrica de chocolate produz 8 tipos de bombons que são vendidos em caixas de 20 bombons sortidos. Quantas caixas diferentes podem ser formadas?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma fábrica que produz 8 tipos diferentes de bombons e vende caixas com 20 bombons sortidos. A gente precisa descobrir quantas combinações diferentes de caixas podem ser formadas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinações com repetição, que é uma parte da combinatória na matemática. Essencialmente, queremos saber de quantas maneiras podemos escolher 20 bombons entre 8 tipos, onde pode repetir tipos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são combinações com repetição. Diferente das combinações simples, onde cada item pode ser escolhido no máximo uma vez, aqui podemos escolher o mesmo tipo de bombom várias vezes. A fórmula para calcular combinações com repetição é:
Onde:
- $ n $ é o número de tipos de bombons (no caso, 8),
- $ k $ é o número de bombons que vamos selecionar (no caso, 20).
Passo 3
Aplicando os valores na fórmula, temos:
Mas calcular
diretamente pode ser trabalhoso, então lembrando que
, podemos simplificar para:
Passo 4
Agora, vamos calcular
. A fórmula para combinação é:
Então:
Passo 5
Calculando isso:
Resposta
Existem 888.030 combinações diferentes de caixas de 20 bombons que podem ser formadas.