Considere o conjunto
Quantas são as permutações de elementos de
que têm no máximo dois elementos no seu lugar primitivo?
Quantas são as permutações de elementos de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem o conjunto $ A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} $ e queremos descobrir quantas permutações desse conjunto têm, no máximo, dois elementos no lugar original deles. Ou seja, estamos trabalhando com permutação e fixação de pontos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são permutações com pontos fixos e usar um pouco de combinatória.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ter elementos no lugar original. Em uma permutação, se um elemento permanece na posição que estava inicialmente, chamamos isso de ponto fixo. Por exemplo, se na permutação 2 estiver na segunda posição, 2 é um ponto fixo.
Passo 3
Queremos contar todas as permutações onde no máximo dois elementos estão em seus pontos fixos. Isso inclui:
- Permutações sem nenhum ponto fixo (também chamadas de deranjamentos).
- Permutações com exatamente um ponto fixo.
- Permutações com exatamente dois pontos fixos.
Passo 4
Vamos calcular cada um desses casos separadamente.
a) Permutações sem pontos fixos (Deranjamentos):
A fórmula para calcular o número de deranjamentos de $ n $ elementos é:
Para $ n = 12 $:
b) Permutações com exatamente um ponto fixo:
Primeiro, escolhemos qual dos 12 elementos ficará fixo. Isso dá $ C(12,1) = 12 $ maneiras.
Depois, permutamos os outros 11 elementos sem que nenhum deles fique no lugar original (um deranjamento de 11 elementos):
c) Permutações com exatamente dois pontos fixos:
Primeiro, escolhemos quais 2 dos 12 elementos ficarão fixos. Isso dá $ C(12,2) = 66 $ maneiras.
Depois, permutamos os outros 10 elementos sem pontos fixos (um deranjamento de 10 elementos):
Passo 5
Agora, somamos os três casos para obter o total de permutações com no máximo dois pontos fixos:
Resposta
O número de permutações de $ A $ com, no máximo, dois elementos no seu lugar original é 440.537.107.