Considere o conjunto A=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12
Quantas são as permutações de elementos de A que têm no máximo dois elementos no seu lugar primitivo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o conjunto $ A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} $ e queremos descobrir quantas permutações desse conjunto têm, no máximo, dois elementos no lugar original deles. Ou seja, estamos trabalhando com permutação e fixação de pontos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são permutações com pontos fixos e usar um pouco de combinatória.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter elementos no lugar original. Em uma permutação, se um elemento permanece na posição que estava inicialmente, chamamos isso de ponto fixo. Por exemplo, se na permutação 2 estiver na segunda posição, 2 é um ponto fixo.

Passo 3

Queremos contar todas as permutações onde no máximo dois elementos estão em seus pontos fixos. Isso inclui:
  1. Permutações sem nenhum ponto fixo (também chamadas de deranjamentos).
  2. Permutações com exatamente um ponto fixo.
  3. Permutações com exatamente dois pontos fixos.

Passo 4

Vamos calcular cada um desses casos separadamente.
a) Permutações sem pontos fixos (Deranjamentos):
A fórmula para calcular o número de deranjamentos de $ n $ elementos é:
n
Para $ n = 12 $:
D(n) = n! (1 - 11! + 12! - 13! + dots + (-1)^n 1n!)
b) Permutações com exatamente um ponto fixo:
Primeiro, escolhemos qual dos 12 elementos ficará fixo. Isso dá $ C(12,1) = 12 $ maneiras.
Depois, permutamos os outros 11 elementos sem que nenhum deles fique no lugar original (um deranjamento de 11 elementos):
n = 12
c) Permutações com exatamente dois pontos fixos:
Primeiro, escolhemos quais 2 dos 12 elementos ficarão fixos. Isso dá $ C(12,2) = 66 $ maneiras.
Depois, permutamos os outros 10 elementos sem pontos fixos (um deranjamento de 10 elementos):
D(12) = 176214841

Passo 5

Agora, somamos os três casos para obter o total de permutações com no máximo dois pontos fixos:
D(12) + C(12,1) times D(11) + C(12,2) times D(10) = 176214841 + 176214840 + 88107426 = 440537107

Resposta

O número de permutações de $ A $ com, no máximo, dois elementos no seu lugar original é 440.537.107.

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