Existe o termo de grau 8 na expansão de
? Em caso afirmativo, encontre seu coeficiente.
Passo 1
Então, a gente tem que verificar se, na expansão de
, existe algum termo que seja de grau 8. Se existir, vamos descobrir qual é o coeficiente desse termo. Para resolver isso, vamos precisar usar a propriedade de multinômios e combinar os termos de cada parte da expressão para ver se conseguimos chegar ao grau 8.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para cada parte da expressão separadamente. A primeira parte é
. Quando a gente expande isso, cada termo será do tipo
, onde
varia de 0 a 5. Assim, os possíveis graus dos termos aqui são: 0, 2, 4, 6, 8 e 10.
Passo 3
A segunda parte é
. Ao expandir isso, cada termo será do tipo
, onde
varia de 0 a 6. Então, os possíveis graus dos termos nessa parte são: 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6.
Passo 4
Agora, para encontrar um termo de grau 8 na multiplicação das duas partes, precisamos combinar os graus dos termos das duas expansões de forma que a soma dos graus seja 8. Ou seja, precisamos encontrar valores de
e
tal que:
Passo 5
Vamos procurar os pares
que satisfazem essa equação:
- Se
, então → Mas só vai até 6, então não vale. - Se
, então - Se
, então - Se
, então - Se
, então - Valores de
maiores que 4 não vão funcionar porque já seria maior que 8.
Passo 6
Agora, para cada par válido, vamos calcular o coeficiente correspondente:
-
Para
e : - Coeficiente de
com : - Coeficiente de
com : - Produto dos coeficientes:
- Coeficiente de
-
Para
e : - Coeficiente de
com : - Coeficiente de
com : - Produto dos coeficientes:
- Coeficiente de
-
Para
e : - Coeficiente de
com : - Coeficiente de
com : - Produto dos coeficientes:
- Coeficiente de
-
Para
e : - Coeficiente de
com : - Coeficiente de
com : - Produto dos coeficientes:
- Coeficiente de
Passo 7
Agora, vamos somar todos esses produtos para encontrar o coeficiente total do termo de grau 8:
Resposta
Sim, existe um termo de grau 8 na expansão de
e o seu coeficiente é
.