Existe o termo de grau 8 na expansão de (x^2+1)^5 cdot(x-7)^6 ? Em caso afirmativo, encontre seu coeficiente.

Passo 1

Então, a gente tem que verificar se, na expansão de (x^2+1)^5 cdot(x-7)^6, existe algum termo que seja de grau 8. Se existir, vamos descobrir qual é o coeficiente desse termo. Para resolver isso, vamos precisar usar a propriedade de multinômios e combinar os termos de cada parte da expressão para ver se conseguimos chegar ao grau 8.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para cada parte da expressão separadamente. A primeira parte é (x^2+1)^5. Quando a gente expande isso, cada termo será do tipo x^2k, onde k varia de 0 a 5. Assim, os possíveis graus dos termos aqui são: 0, 2, 4, 6, 8 e 10.

Passo 3

A segunda parte é (x-7)^6. Ao expandir isso, cada termo será do tipo x^m cdot (-7)^6-m, onde m varia de 0 a 6. Então, os possíveis graus dos termos nessa parte são: 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6.

Passo 4

Agora, para encontrar um termo de grau 8 na multiplicação das duas partes, precisamos combinar os graus dos termos das duas expansões de forma que a soma dos graus seja 8. Ou seja, precisamos encontrar valores de k e m tal que:
2k + m = 8

Passo 5

Vamos procurar os pares (k, m) que satisfazem essa equação:
  • Se k=0, então m=8 → Mas m só vai até 6, então não vale.
  • Se k=1, então m=6
  • Se k=2, então m=4
  • Se k=3, então m=2
  • Se k=4, então m=0
  • Valores de k maiores que 4 não vão funcionar porque 2k já seria maior que 8.

Passo 6

Agora, para cada par válido, vamos calcular o coeficiente correspondente:
  1. Para k=1 e m=6:
    • Coeficiente de (x^2+1)^5 com k=1: binom51 cdot 1^4 = 5
    • Coeficiente de (x-7)^6 com m=6: binom66 cdot (-7)^0 = 1
    • Produto dos coeficientes: 5 cdot 1 = 5
  2. Para k=2 e m=4:
    • Coeficiente de (x^2+1)^5 com k=2: binom52 cdot 1^3 = 10
    • Coeficiente de (x-7)^6 com m=4: binom64 cdot (-7)^2 = 15 cdot 49 = 735
    • Produto dos coeficientes: 10 cdot 735 = 7350
  3. Para k=3 e m=2:
    • Coeficiente de (x^2+1)^5 com k=3: binom53 cdot 1^2 = 10
    • Coeficiente de (x-7)^6 com m=2: binom62 cdot (-7)^4 = 15 cdot 2401 = 36015
    • Produto dos coeficientes: 10 cdot 36015 = 360150
  4. Para k=4 e m=0:
    • Coeficiente de (x^2+1)^5 com k=4: binom54 cdot 1^1 = 5
    • Coeficiente de (x-7)^6 com m=0: binom60 cdot (-7)^6 = 1 cdot 117649 = 117649
    • Produto dos coeficientes: 5 cdot 117649 = 588245

Passo 7

Agora, vamos somar todos esses produtos para encontrar o coeficiente total do termo de grau 8:
5 + 7350 + 360150 + 588245 = 955750

Resposta

Sim, existe um termo de grau 8 na expansão de (x^2+1)^5 cdot(x-7)^6 e o seu coeficiente é 955750.

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