Ao final dos 15 rounds de uma luta de boxe, os juízes decidiram adotar o seguinte procedimento para dar o resultado. A cada assalto, entravam em acordo e a contagem era de 1 ponto para o lutador que eles achavam que havia ganhado o assalto; e 0 para o que havia perdido. Ao final da luta, o placar estava
.
De quantas formas pode ter ocorrido a contagem de pontos?
De quantas formas pode ter ocorrido a contagem de pontos?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma luta de boxe com 15 rounds. Em cada round, um dos dois lutadores ganha 1 ponto e o outro ganha 0. No final, o placar foi 8 × 7, ou seja, um lutador ganhou 8 rounds e o outro ganhou 7 rounds. Nosso objetivo é descobrir de quantas maneiras diferentes isso pode ter acontecido durante os 15 rounds.
Passo 2
Para resolver esse tipo de problema, vamos usar a Combinatória, que é a parte da matemática que estuda as contagens de diferentes possibilidades. Especificamente, vamos usar o conceito de arranjos onde a ordem importa.
Passo 3
Imagine que cada round é uma posição em uma sequência de 15 posições. Em cada posição, colocamos um “A” se o primeiro lutador ganhou o round ou um “B” se o segundo ganhou. Queremos contar quantas sequências diferentes de “A” e “B” existem onde “A” aparece 8 vezes e “B” aparece 7 vezes.
Passo 4
Isso é equivalente a escolher 8 posições dentre as 15 para colocar os “A”. O número de maneiras de fazer isso é dado por uma combinação, que é calculada pela fórmula:
onde:
- $ n $ é o total de elementos (neste caso, 15 rounds),
- $ k $ é o número de elementos que queremos escolher (neste caso, 8 vitórias para um lutador),
- e “!” representa o fatorial, que é o produto de todos os números inteiros positivos até aquele número.
Passo 5
Aplicando os valores na fórmula:
Passo 6
Vamos calcular isso passo a passo:
- Calcular $ 15! $:
- Então, substituindo na fórmula:
- Calculando $ 7! $:
- Agora, vamos multiplicar os números no numerador:
- Dividindo pelo denominador:
Resposta
Então, existem 6.435 maneiras diferentes de a contagem de pontos ter ocorrido ao final dos 15 rounds com o placar de 8 × 7.