Ao final dos 15 rounds de uma luta de boxe, os juízes decidiram adotar o seguinte procedimento para dar o resultado. A cada assalto, entravam em acordo e a contagem era de 1 ponto para o lutador que eles achavam que havia ganhado o assalto; e 0 para o que havia perdido. Ao final da luta, o placar estava 8 times 7.
De quantas formas pode ter ocorrido a contagem de pontos?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma luta de boxe com 15 rounds. Em cada round, um dos dois lutadores ganha 1 ponto e o outro ganha 0. No final, o placar foi 8 × 7, ou seja, um lutador ganhou 8 rounds e o outro ganhou 7 rounds. Nosso objetivo é descobrir de quantas maneiras diferentes isso pode ter acontecido durante os 15 rounds.

Passo 2

Para resolver esse tipo de problema, vamos usar a Combinatória, que é a parte da matemática que estuda as contagens de diferentes possibilidades. Especificamente, vamos usar o conceito de arranjos onde a ordem importa.

Passo 3

Imagine que cada round é uma posição em uma sequência de 15 posições. Em cada posição, colocamos um “A” se o primeiro lutador ganhou o round ou um “B” se o segundo ganhou. Queremos contar quantas sequências diferentes de “A” e “B” existem onde “A” aparece 8 vezes e “B” aparece 7 vezes.

Passo 4

Isso é equivalente a escolher 8 posições dentre as 15 para colocar os “A”. O número de maneiras de fazer isso é dado por uma combinação, que é calculada pela fórmula:
C(n, k) = n!k! times (n - k)!
onde:
  • $ n $ é o total de elementos (neste caso, 15 rounds),
  • $ k $ é o número de elementos que queremos escolher (neste caso, 8 vitórias para um lutador),
  • e “!” representa o fatorial, que é o produto de todos os números inteiros positivos até aquele número.

Passo 5

Aplicando os valores na fórmula:
C(15, 8) = 15!8! times (15 - 8)! = 15!8! times 7!

Passo 6

Vamos calcular isso passo a passo:
  1. Calcular $ 15! $:
15!
  1. Então, substituindo na fórmula:
15! = 15 times 14 times 13 times 12 times 11 times 10 times 9 times 8!
  1. Calculando $ 7! $:
C(15, 8) = 15 times 14 times 13 times 12 times 11 times 10 times 9 times 8!8! times 7! = 15 times 14 times 13 times 12 times 11 times 10 times 97!
  1. Agora, vamos multiplicar os números no numerador:
7!
  1. Dividindo pelo denominador:
7! = 7 times 6 times 5 times 4 times 3 times 2 times 1 = 5040

Resposta

Então, existem 6.435 maneiras diferentes de a contagem de pontos ter ocorrido ao final dos 15 rounds com o placar de 8 × 7.

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