Encontre y^prime e y^prime prime.
y=raizcos x

Passo 1

O enunciado dá
y = raizcos x = (cos x)^tfrac12
e pede y' e y''. Para resolver, vamos usar a regra da cadeia para derivar potências compostas e, em seguida, a regra do produto e de cadeia para obter a segunda derivada.

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia em
y = (cos x)^tfrac12,
temos
y' = tfrac12(cos x)^-tfrac12cdot(-sin x) = -sin x2raizcos x

Passo 3

Para achar y'', escrevemos
y' = -tfrac12,sin x;(cos x)^-tfrac12
e aplicamos a regra do produto u,v com
u=-tfrac12,sin x, v=(cos x)^-tfrac12
Então
u'=-tfrac12cos x, v'=-tfrac12(cos x)^-tfrac32cdot(-sin x) =sin x2,cos^3/2x
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y''=u',v + u,v' =-tfrac12cos x;(cos x)^-tfrac12 + l(-tfrac12sin xr);sin x2,cos^3/2x

Passo 4

Agora simplificamos termo a termo:
-tfrac12cos x;(cos x)^-tfrac12 =-tfrac12raizcos x,
-tfrac12sin x;sin x2,cos^3/2x =-sin^2 x4,cos^3/2x
Somando com denominador comum 4cos^3/2x e usando sin^2x+cos^2x=1, obtém-se
y''=-2cos^2x+sin^2x4,cos^3/2x =-1+cos^2x4,cos^3/2x

Resposta

y'=-sin x2raizcos x, y''=-1+cos^2x4,cos^3/2x

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