Encontre y^prime e y^prime prime.
y=(1+raizx)^3

Passo 1

O enunciado pede as derivadas primeira e segunda de y=(1+raizx)^3. O conteúdo é derivação por meio da regra da cadeia e, em seguida, produto para obter a segunda derivada.

Passo 2

Para calcular a primeira derivada, definimos u(x)=1+raizx, de modo que y=u^3. Pela regra da cadeia,
y'=dydx=3u^2cdot u' =3(1+raizx)^2cdotddxl(x^1/2r) =3(1+raizx)^2cdot12raizx
Logo,
y'=3(1+raizx)^22raizx

Passo 3

Para a segunda derivada, escrevemos
y'=32,x^-1/2(1+x^1/2)^2
Aplicamos o produto entre u(x)=x^-1/2 e v(x)=(1+x^1/2)^2:
u'(x)=-tfrac12,x^-3/2, v'(x)=2(1+x^1/2)cdottfrac12raizx=1+x^1/2raizx
Assim,
y''=32l(u'v+u,v'r) =32l(-tfrac12,x^-3/2(1+raizx)^2 +x^-1/2cdot1+raizxraizxr)
Fatorando e simplificando chega-se a
y''=3(x-1)4,x^3/2

Resposta

y'= 3(1+raizx)^22raizx,
y''= 3(x-1)4,x^3/2

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