Seja G um grupo e considere g, h, k in G. Prove que:
g h=g k Rightarrow h=k.

Passo 1

O enunciado pede provar a lei de cancelamento à esquerda em um grupo G: dados g,h,kin G, mostrar que g,h = g,k implica h=k. Para isso vamos usar a definição de grupo (existência de inverso e elemento neutro) e a associatividade da operação.

Passo 2

Como G é grupo, existe o inverso g^-1in G tal que g^-1g=e. Multiplicando à esquerda a equação g,h = g,k por g^-1 e usando associatividade, obtemos:
g^-1(g,h) = g^-1(g,k)
(g^-1g),h = (g^-1g),k

Passo 3

Pelo fato de g^-1g = e e usando que e é elemento neutro ( e,h = h e e,k = k), segue que:
h = k

Resposta

h = k

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