- Considere um conjunto
de 20 pontos do espaço que tem um subconjunto
formado por 8 pontos coplanares. Sabe-se que toda vez que 4 pontos de
sào coplanares, então eles são pontos de
. Quantos são os planos que contêm pelo menos três pontos de
?
- Quantos são os anagramas da palavra CARAGUATATUBA? Quantos começam por vogal?
Passo 1
Problema 16 — O que o enunciado dá e o que pede:
- Temos um conjunto
com pontos no espaço. - Existe um subconjunto
com pontos que são coplanares (ou seja, todos estão em um mesmo plano). - Sempre que
pontos de são coplanares, então esses pontos pertencem a . Em outras palavras: não existe nenhum conjunto de pontos coplanares fora do plano que contém . - Pergunta: Quantos são os planos que contêm pelo menos três pontos de
?
Problema 17 — O que o enunciado dá e o que pede:
- A palavra é “CARAGUATATUBA”. Vamos trabalhar com suas letras.
- Pergunta 1: Quantos são os anagramas (todas as rearrumações das letras, considerando letras repetidas)?
- Pergunta 2: Desses anagramas, quantos começam por uma vogal?
Passo 2
Comentário sobre estratégia geral para o Problema 16 (sem resolver ainda):
- Um plano que contém “pelo menos três pontos” pode conter exatamente
pontos de , ou ou mais pontos de . - A condição do enunciado nos diz que se um plano contiver
(ou mais) pontos de , então todos esses pontos estão em . Portanto não existe nenhum plano fora do plano de que contenha ou mais pontos de . - Logo, todo plano diferente do plano que contém
só pode conter exatamente pontos de . - Portanto podemos contar: (i) o plano de
conta como 1 plano (ele contém pontos); (ii) cada outro plano que conta é determinado por exatamente pontos de (tripla) e não pode conter um quarto ponto de .
Passo 3
Ferramenta combinatória que vamos usar (explicação didática):
- O número de subconjuntos de
elementos de um conjunto de elementos é dado pelo coeficiente binomial
onde
(fatorial de
) é
.
- Aqui nos interessa contar subconjuntos de
pontos entre os pontos, ou seja . Cada tripla de pontos não colineares determina um plano. Pelo enunciado, toda tripla que está totalmente dentro de não dá um plano novo — todas essas triplas geram o mesmo plano (o plano de ). Todas as demais triplas dão planos distintos que contêm exatamente pontos de (porque se houvesse um quarto ponto no mesmo plano isso violaria a condição). - Portanto o número total de planos com pelo menos três pontos é
Passo 4
Aplicando as contas ao Problema 16:
- Número total de triplas em
:
- Número de triplas inteiramente dentro de
(os pontos coplanares):
- Pelo raciocínio do passo anterior, o número total de planos com pelo menos três pontos é
Passo 5
Agora vamos para o Problema 17 — primeiro identificar as letras e suas multiplicidades:
- A palavra “CARAGUATATUBA” tem
letras no total. - Contagem de cada letra (conte comigo): as letras são
C, A, R, A, G, U, A, T, A, T, U, B, A. - Logo as multiplicidades são:
- letra
: aparece vezes, - letra
: aparece vezes, - letra
: aparece vezes, - letras
: cada uma aparece vez.
- letra
- Check rápido:
, ok.
Passo 6
Fórmula para anagramas com letras repetidas (explicação didática):
- Se temos
posições e letras com multiplicidades (sendo ), o número de arranjos distintos é
- A ideia intuitiva: sem repetições seriam
permutações; dividir por para cada letra que se repete porque as permutações entre as cópias idênticas não geram anagramas distintos.
Passo 7
Calcular o número total de anagramas da palavra (resolvendo a primeira pergunta do Problema 17):
- Aqui
, com multiplicidades para , para , para e para as demais. - Portanto
- Cálculo numérico:
, , . Então
Passo 8
Calcular quantos anagramas começam por vogal (segunda pergunta do Problema 17) — método 1: fixar a primeira letra
- As vogais presentes são
e . - Caso 1: a primeira letra seja
. Como havia letras , ao fixar uma na primeira posição sobram posições com multiplicidades . O número de arranjos restantes é
- Caso 2: a primeira letra seja
. Como havia letras , ao fixar uma restam posições com multiplicidades . O número de arranjos restantes é
- Somando os dois casos obtemos o total de anagramas que começam por vogal.
Passo 9
Cálculo numérico do passo anterior:
- Primeiro,
. - Para primeira letra
:
- Para primeira letra
:
- Somando:
Passo 10
Comentário rápido (atalho/checagem): pela simetria, a fração de anagramas que começa por vogal é simplesmente
(a posição inicial é simétrica entre todas as letras), então
o que confirma o resultado do passo anterior.
Resposta
-
\n
17a.\n
17b.