1. Considere um conjunto C de 20 pontos do espaço que tem um subconjunto C_{1} formado por 8 pontos coplanares. Sabe-se que toda vez que 4 pontos de C sào coplanares, então eles são pontos de C_{1}. Quantos são os planos que contêm pelo menos três pontos de C ?
  2. Quantos são os anagramas da palavra CARAGUATATUBA? Quantos começam por vogal?

Passo 1

Problema 16 — O que o enunciado dá e o que pede:
  • Temos um conjunto C com 20 pontos no espaço.
  • Existe um subconjunto C_{1}\subset C com 8 pontos que são coplanares (ou seja, todos estão em um mesmo plano).
  • Sempre que 4 pontos de C são coplanares, então esses 4 pontos pertencem a C_{1}. Em outras palavras: não existe nenhum conjunto de 4 pontos coplanares fora do plano que contém C_{1}.
  • Pergunta: Quantos são os planos que contêm pelo menos três pontos de C?
Problema 17 — O que o enunciado dá e o que pede:
  • A palavra é “CARAGUATATUBA”. Vamos trabalhar com suas letras.
  • Pergunta 1: Quantos são os anagramas (todas as rearrumações das letras, considerando letras repetidas)?
  • Pergunta 2: Desses anagramas, quantos começam por uma vogal?

Passo 2

Comentário sobre estratégia geral para o Problema 16 (sem resolver ainda):
  • Um plano que contém “pelo menos três pontos” pode conter exatamente 3 pontos de C, ou 4 ou mais pontos de C.
  • A condição do enunciado nos diz que se um plano contiver 4 (ou mais) pontos de C, então todos esses pontos estão em C_{1}. Portanto não existe nenhum plano fora do plano de C_{1} que contenha 4 ou mais pontos de C.
  • Logo, todo plano diferente do plano que contém C_{1} só pode conter exatamente 3 pontos de C.
  • Portanto podemos contar: (i) o plano de C_{1} conta como 1 plano (ele contém 8 pontos); (ii) cada outro plano que conta é determinado por exatamente 3 pontos de C (tripla) e não pode conter um quarto ponto de C.

Passo 3

Ferramenta combinatória que vamos usar (explicação didática):
  • O número de subconjuntos de k elementos de um conjunto de n elementos é dado pelo coeficiente binomial
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial de n) é n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot2\cdot1.
  • Aqui nos interessa contar subconjuntos de 3 pontos entre os 20 pontos, ou seja \binom{20}{3}. Cada tripla de pontos não colineares determina um plano. Pelo enunciado, toda tripla que está totalmente dentro de C_{1} não dá um plano novo — todas essas triplas geram o mesmo plano (o plano de C_{1}). Todas as demais triplas dão planos distintos que contêm exatamente 3 pontos de C (porque se houvesse um quarto ponto no mesmo plano isso violaria a condição).
  • Portanto o número total de planos com pelo menos três pontos é
1\quad(\text{o plano de }C_{1})\;+\;\bigl(\text{número de triplas totais em }C\bigr)\;-\;\bigl(\text{número de triplas inteiras em }C_{1}\bigr).úú

Passo 4

Aplicando as contas ao Problema 16:
  • Número total de triplas em C:
\binom{20}{3}=\frac{20\cdot19\cdot18}{3\cdot2\cdot1}=1140.
  • Número de triplas inteiramente dentro de C_{1} (os 8 pontos coplanares):
\binom{8}{3}=\frac{8\cdot7\cdot6}{3\cdot2\cdot1}=56.
  • Pelo raciocínio do passo anterior, o número total de planos com pelo menos três pontos é
1 + \bigl(\binom{20}{3}-\binom{8}{3}\bigr)=1+(1140-56)=1+1084=1085.

Passo 5

Agora vamos para o Problema 17 — primeiro identificar as letras e suas multiplicidades:
  • A palavra “CARAGUATATUBA” tem 13 letras no total.
  • Contagem de cada letra (conte comigo): as letras são
    C, A, R, A, G, U, A, T, A, T, U, B, A.
  • Logo as multiplicidades são:
    • letra A: aparece \,5 vezes,
    • letra T: aparece \,2 vezes,
    • letra U: aparece \,2 vezes,
    • letras C,R,G,B: cada uma aparece \,1 vez.
  • Check rápido: 5+2+2+1+1+1+1=13, ok.

Passo 6

Fórmula para anagramas com letras repetidas (explicação didática):
  • Se temos n posições e letras com multiplicidades n_{1},n_{2},\dots (sendo \sum n_{i}=n), o número de arranjos distintos é
\frac{n!}{n_{1}!\,n_{2}!\cdots }.
  • A ideia intuitiva: sem repetições seriam n! permutações; dividir por n_{i}! para cada letra que se repete porque as permutações entre as cópias idênticas não geram anagramas distintos.

Passo 7

Calcular o número total de anagramas da palavra (resolvendo a primeira pergunta do Problema 17):
  • Aqui n=13, com multiplicidades 5 para A, 2 para T, 2 para U e 1 para as demais.
  • Portanto
\text{total}=\frac{13!}{5!\,2!\,2!}.
  • Cálculo numérico: 13!=6227020800, 5!=120, 2!\cdot2!=4. Então
\frac{13!}{5!\,2!\,2!}=\frac{6227020800}{480}=12972960.

Passo 8

Calcular quantos anagramas começam por vogal (segunda pergunta do Problema 17) — método 1: fixar a primeira letra
  • As vogais presentes são A e U.
  • Caso 1: a primeira letra seja A. Como havia 5 letras A, ao fixar uma A na primeira posição sobram 12 posições com multiplicidades A^{4},\,T^{2},\,U^{2},\,C^{1},R^{1},G^{1},B^{1}. O número de arranjos restantes é
\frac{12!}{4!\,2!\,2!}.
  • Caso 2: a primeira letra seja U. Como havia 2 letras U, ao fixar uma U restam 12 posições com multiplicidades A^{5},\,U^{1},\,T^{2},\,C^{1},R^{1},G^{1},B^{1}. O número de arranjos restantes é
\frac{12!}{5!\,1!\,2!}=\frac{12!}{5!\,2!}.
  • Somando os dois casos obtemos o total de anagramas que começam por vogal.

Passo 9

Cálculo numérico do passo anterior:
  • Primeiro, 12!=479001600.
  • Para primeira letra A:
\frac{12!}{4!\,2!\,2!}=\frac{479001600}{24\cdot2\cdot2}=\frac{479001600}{96}=4989600.
  • Para primeira letra U:
\frac{12!}{5!\,2!}=\frac{479001600}{120\cdot2}=\frac{479001600}{240}=1995840.
  • Somando:
4989600+1995840=6985440.

Passo 10

Comentário rápido (atalho/checagem): pela simetria, a fração de anagramas que começa por vogal é simplesmente \dfrac{\text{número de vogais}}{13}=\dfrac{7}{13}ú (a posição inicial é simétrica entre todas as letras), então
\frac{7}{13}\cdot12972960=6985440,
o que confirma o resultado do passo anterior.

Resposta

  1. \,1085\n
    17a. \,12972960\n
    17b. \,6985440

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