1. De quantos modos podem ser pintados 6 objetos iguais usando 3 cores dis. rentes?

Passo 1

O enunciado pergunta: “De quantos modos podem ser pintados 6 objetos iguais usando 3 cores diferentes?”
Informações relevantes dadas:
  • 6 objetos.
  • Os objetos são iguais (idênticos) — portanto a ordem não importa, só importa quantos objetos de cada cor aparecem.
  • 3 cores diferentes disponíveis.
  • Queremos contar de quantas maneiras (configurações) é possível pintar todos os 6 objetos usando essas cores.

Passo 2

Para formalizar: chamo de x_1 o número de objetos pintados com a cor 1, x_2 o número pintado com a cor 2 e x_3 o número pintado com a cor 3. Cada x_i é um inteiro não-negativo (pode ser zero se uma cor não for usada).
Como temos ao todo 6 objetos, os três números devem somar 6. Escrevemos a equação
x_1 + x_2 + x_3 = 6
com a restrição
x_1 \ge 0,\qquad x_2 \ge 0,\qquad x_3 \ge 0,
onde cada x_i é inteiro. Nosso problema virou: contar o número de soluções inteiras não-negativas dessa equação.

Passo 3

Agora a técnica (explicação passo a passo): a contagem de soluções não-negativas da equação x_1+\dots+x_k=n é feita pelo princípio conhecido como “stars and bars” (estrelas e barras). A ideia intuitiva:
  • Imagine representar cada uma das n unidades por uma estrela \ast.
  • Para dividir essas n estrelas em k grupos (que correspondem a x_1,\dots,x_k) colocamos k-1 barras | entre as estrelas para separar os grupos.
  • Assim uma disposição de n estrelas e k-1 barras determina uma solução única (x_1,\dots,x_k), e vice-versa.
  • O número total de símbolos é n+(k-1). Para escolher uma disposição basta escolher as posições das k-1 barras entre esses n+k-1 lugares.
  • Logo o número de soluções é o número de formas de escolher k-1 posições entre n+k-1, isto é
\binom{n+k-1}{k-1}.

Passo 4

Aplicando ao nosso caso: n=6 e k=3. Pelo resultado acima,
\text{número de maneiras}=\binom{6+3-1}{3-1}=\binom{8}{2}.ú
Calculo de \binom{8}{2}:
\binom{8}{2}=\frac{8\cdot 7}{2\cdot 1}=\frac{56}{2}=28.

Passo 5

Cheque rápido para fixar a intuição: se em vez de 6 objetos tivéssemos 3 objetos e 2 cores, a fórmula dá \binom{3+2-1}{2-1}=\binom{4}{1}=4, que corresponde exatamente às configurações (0,3),(1,2),(2,1),(3,0). Então a fórmula bate com exemplos simples.

Resposta

28

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