- De quantos modos podem ser pintados 6 objetos iguais usando 3 cores dis. rentes?
Passo 1
O enunciado pergunta: “De quantos modos podem ser pintados 6 objetos iguais usando 3 cores diferentes?”
Informações relevantes dadas:
- Há
objetos. - Os objetos são iguais (idênticos) — portanto a ordem não importa, só importa quantos objetos de cada cor aparecem.
- Há
cores diferentes disponíveis. - Queremos contar de quantas maneiras (configurações) é possível pintar todos os
objetos usando essas cores.
Passo 2
Para formalizar: chamo de
o número de objetos pintados com a cor 1,
o número pintado com a cor 2 e
o número pintado com a cor 3. Cada
é um inteiro não-negativo (pode ser zero se uma cor não for usada).
Como temos ao todo objetos, os três números devem somar
. Escrevemos a equação
Como temos ao todo
com a restrição
onde cada
é inteiro. Nosso problema virou: contar o número de soluções inteiras não-negativas dessa equação.
Passo 3
Agora a técnica (explicação passo a passo): a contagem de soluções não-negativas da equação
é feita pelo princípio conhecido como “stars and bars” (estrelas e barras). A ideia intuitiva:
- Imagine representar cada uma das
unidades por uma estrela . - Para dividir essas
estrelas em grupos (que correspondem a ) colocamos barras entre as estrelas para separar os grupos. - Assim uma disposição de
estrelas e barras determina uma solução única , e vice-versa. - O número total de símbolos é
. Para escolher uma disposição basta escolher as posições das barras entre esses lugares. - Logo o número de soluções é o número de formas de escolher
posições entre , isto é
Passo 4
Aplicando ao nosso caso:
e
. Pelo resultado acima,
Calculo de
:
Passo 5
Cheque rápido para fixar a intuição: se em vez de
objetos tivéssemos
objetos e
cores, a fórmula dá
, que corresponde exatamente às configurações
. Então a fórmula bate com exemplos simples.
Resposta
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