Considere o conjunto de dados a seguir:
Obs X Y Z
1 1 2 4
2 2 4 5
3 3 6 6
4 4 8 7
5 5 10 8
Para cada uma das variáveis , calcule: média, variância, desviopadrão, coeficiene de variação (cv), mediana (Q2), Q3, DIQ .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela com três variáveis: X , Y e Z , cada uma com 5 observações. O objetivo é calcular para cada uma dessas variáveis a média, variância, desvio padrão, coeficiente de variação ( cv ), mediana ( Q2 ), terceiro quartil ( Q3 ) e o intervalo interquartil ( DIQ = Q3 - Q1 ).
Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de estatística descritiva, como média, variância, desvio padrão, quartis, etc. Vamos passo a passo, explicando cada cálculo para deixar tudo bem claro.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média de cada variável. A média é o valor médio dos dados e é calculada somando todos os valores e dividindo pela quantidade de observações.
A fórmula da média ( barX ) é:
barX = sumi=1^n Xin
onde n é o número de observações.
Vamos aplicar isso para X , Y e Z .

Passo 3

Agora, vamos calcular a variância de cada variável. A variância mede o quanto os valores estão espalhados em relação à média. A fórmula é:
sigma^2 = sumi=1^n (Xi - barX)^2n
Depois disso, o desvio padrão é simplesmente a raiz quadrada da variância:
sigma = raizsigma^2
Isso nos dá uma ideia de quão dispersos os dados estão.

Passo 4

O próximo passo é o coeficiente de variação (cv), que é uma medida relativa de dispersão. Ele é calculado dividindo o desvio padrão pela média e multiplicando por 100 para obter uma porcentagem:
cv = ( sigmabarX ) times 100%
Isso nos ajuda a comparar a variabilidade entre diferentes conjuntos de dados, mesmo que eles tenham médias diferentes.

Passo 5

Vamos calcular a mediana ( Q2 ), que é o valor que separa a metade superior da metade inferior dos dados. Para encontrar a mediana, precisamos ordenar os dados em ordem crescente e identificar o valor do meio.
Já o terceiro quartil ( Q3 ) é o valor que separa os 75% inferiores dos 25% superiores dos dados. E o intervalo interquartil (DIQ) é a diferença entre Q3 e o primeiro quartil ( Q1 ):
DIQ = Q3 - Q1
Essas medidas nos dão informações sobre a distribuição dos dados.

Passo 6

Vamos agora aplicar todos esses cálculos para cada variável X , Y e Z :

Para X :

  • Dados: 1, 2, 3, 4, 5
  1. Média:
barX = 1 + 2 + 3 + 4 + 55 = 155 = 3
  1. Variância:
sigma^2 = (1-3)^2 + (2-3)^2 + (3-3)^2 + (4-3)^2 + (5-3)^25 = 4 + 1 + 0 + 1 + 45 = 105 = 2
  1. Desvio Padrão:
sigma = raiz2 approx 1,414
  1. Coeficiente de Variação:
cv = ( 1,4143 ) times 100% approx 47,13%
  1. Mediana ( Q2 ): 3
  2. Terceiro Quartil ( Q3 ): 4
  3. DIQ:
DIQ = 4 - 2 = 2

Para Y :

  • Dados: 2, 4, 6, 8, 10
  1. Média:
barY = 2 + 4 + 6 + 8 + 105 = 305 = 6
  1. Variância:
sigma^2 = (2-6)^2 + (4-6)^2 + (6-6)^2 + (8-6)^2 + (10-6)^25 = 16 + 4 + 0 + 4 + 165 = 405 = 8
  1. Desvio Padrão:
sigma = raiz8 approx 2,828
  1. Coeficiente de Variação:
cv = ( 2,8286 ) times 100% approx 47,13%
  1. Mediana ( Q2 ): 6
  2. Terceiro Quartil ( Q3 ): 8
  3. DIQ:
DIQ = 8 - 4 = 4

Para Z :

  • Dados: 4, 5, 6, 7, 8
  1. Média:
barZ = 4 + 5 + 6 + 7 + 85 = 305 = 6
  1. Variância:
sigma^2 = (4-6)^2 + (5-6)^2 + (6-6)^2 + (7-6)^2 + (8-6)^25 = 4 + 1 + 0 + 1 + 45 = 105 = 2
  1. Desvio Padrão:
sigma = raiz2 approx 1,414
  1. Coeficiente de Variação:
cv = ( 1,4146 ) times 100% approx 23,57%
  1. Mediana ( Q2 ): 6
  2. Terceiro Quartil ( Q3 ): 7
  3. DIQ:
DIQ = 7 - 5 = 2

Resposta

Resultados Finais:
Variável Média ( barX ) Variância ( sigma^2 ) Desvio Padrão ( sigma ) Coeficiente de Variação ( cv ) Mediana ( Q2 ) Q3 DIQ
X 3 2 1,414 47,13% 3 4 2
Y 6 8 2,828 47,13% 6 8 4
Z 6 2 1,414 23,57% 6 7 2
Esses são os valores calculados para média, variância, desvio padrão, coeficiente de variação, mediana, terceiro quartil e intervalo interquartil para cada uma das variáveis X , Y e Z .

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