Considere o conjunto alpha=(-1,3,1),(1,-2,4) e determine:
a) o espaço gerado por alpha;
b) o valor de k in R para que v=(5, k, 11) pertença ao espaço gerado por alpha .

Passo 1

O enunciado nos dá dois vetores em R^3,
u = (-1,3,1), w = (1,-2,4),
e pede (a) descrever o espaço gerado por alpha = u,w e (b) achar kinR tal que v=(5,k,11) pertença a esse espaço.
Conteúdo: espaço gerado (span) de vetores em R^3 e condição de pertencimento (resolver combinação linear ou usar a equação cartesiana do plano).

Passo 2

Para (a) podemos dizer diretamente que
Span(alpha) = ,t,u + s,w mid t,sinR
é um plano que passa pela origem em R^3. Uma descrição paramétrica já vale como resposta, mas podemos também obter a forma cartesiana desse plano.

Passo 3

Na forma cartesiana, basta achar um vetor normal n ao plano gerado por u e w. Calculamos o produto vetorial:
n = u times w = i & j & k [6pt] -1 & 3 & 1 [3pt] 1 & -2 & 4 = (3cdot4 - 1cdot(-2)),i -((-1)cdot4 - 1cdot1),j +((-1)cdot(-2) - 3cdot1),k
n = (12+2,, -(-4-1),,2-3) = (14,,5,,-1)
Logo a equação do plano é
14x + 5y - z = 0,
que descreve exatamente Span(alpha).
]

Passo 4

Para (b) exigimos que v=(5,k,11) satisfaça a equação do plano. Substituindo,
14cdot5 + 5cdot k - 11 = 0 Longrightarrow 70 + 5k - 11 = 0 Longrightarrow 5k + 59 = 0 Longrightarrow k = -tfrac595

Resposta

a) Span(alpha)=,t(-1,3,1)+s(1,-2,4)mid t,sinR, ou em forma cartesiana (x,y,z)inR^3:14x+5y-z=0
b) k = -tfrac595

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