Expresse os seguintes polinômios
p(x)=2+5 x, q(x)=-x+2 x 2, r(x)=3+3 x+5 x^2
como combinação linear de p1(x)=2+x+4 x^2 ; p2(x)=1-x+3 x^2 ; p3(x)=3+2 x+5 x^2 .

Passo 1

O enunciado pede para escrever os polinômios
p(x)=2+5x, q(x)=-x+2x^2, r(x)=3+3x+5x^2
como combinações lineares de
p1(x)=2+x+4x^2, p2(x)=1-x+3x^2, p3(x)=3+2x+5x^2
O método é assumir, para cada polinômio alvo,
P(x)=a,p1(x)+b,p2(x)+c,p3(x),
e igualar coeficientes de 1, x e x^2, resolvendo o sistema para (a,b,c).

Passo 2

Para
Igualando coeficientes, obtemos o sistema
Resolvendo, achamos , . Logo

Passo 3

Para
o que gera o sistema
A solução é , . Portanto

Passo 4

Para
que conduz a
Resolvendo, vem , . Assim

Resposta

p(x)=-,p1(x),-2,p2(x)+2,p3(x),
q(x)=3,p1(x),-2,p3(x),
r(x)=2,p1(x),-,p2(x)

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