Considere o conjunto Dinfty=Z times1,-1 munido da operação *, definida por
(a, n) *(b, m)=(a+n b, n m)
Mostre que ( Dinfty, * ) é um grupo. Podemos considerar Dinfty como o produto direto G times H, onde G=(Z,+), H=(1,-1, cdot) e cdot denota a multiplicação usual?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um conjunto chamado Dinfty = Z times 1, -1 com uma operação * definidinha assim:
(a, n) * (b, m) = (a + n b, n m)
Nossa missão é mostrar que (Dinfty, *) é um grupo. Além disso, queremos ver se Dinfty pode ser considerado como o produto direto de dois grupos menores: G = (Z, +) e H = (1, -1, cdot) .
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de Teoria dos Grupos, como associatividade, elemento neutro e inversos. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um grupo. Um grupo é um conjunto com uma operação que satisfaz quatro propriedades:
  1. Fechamento: Se você aplicar a operação a dois elementos do grupo, o resultado também está no grupo.
  2. Associatividade: A ordem de aplicação da operação não altera o resultado.
  3. Elemento Neutro: Existe um elemento no grupo que, quando usado na operação com qualquer outro elemento, deixa esse outro elemento inalterado.
  4. Inversos: Para cada elemento no grupo, existe outro que “desfaz” a operação, voltando ao elemento neutro.
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para Dinfty .

Passo 3

1. Fechamento
Precisamos mostrar que se você pegar dois elementos qualquer de Dinfty , digamos (a, n) e (b, m) , e aplicar a operação *, o resultado também está em Dinfty .
Calculando:
(a, n) * (b, m) = (a + n b, n m)
  • Primeira coordenada: a + n b é um número inteiro, já que a e b são inteiros e n é 1 ou -1.
  • Segunda coordenada: n m é a multiplicação de 1 e -1, que sempre resulta em 1 ou -1.
Então, (a + n b, n m) também está em Dinfty . Fechamento comprovado!

Passo 4

2. Associatividade
Precisamos verificar se a operação * é associativa, ou seja, se:
[(a, n) * (b, m)] * (c, p) = (a, n) * [(b, m) * (c, p)]
Vamos calcular cada lado separadamente.
Esquerda:
[(a, n) * (b, m)] * (c, p) = (a + n b, n m) * (c, p) = (a + n b + (n m) c, (n m) p)
Direita:
(a, n) * [(b, m) * (c, p)] = (a, n) * (b + m c, m p) = (a + n (b + m c), n (m p))
Agora simplificando:
  • Primeiro componente da esquerda: a + n b + n m c
  • Primeiro componente da direita: a + n b + n m c
  • Segundo componente da esquerda: n m p
  • Segundo componente da direita: n m p
Como ambos os lados são iguais, a operação é associativa!

Passo 5

3. Elemento Neutro
Precisamos encontrar um elemento (e, k) em Dinfty tal que, para todo (a, n) , tenha:
(a, n) * (e, k) = (a, n) e (e, k) * (a, n) = (a, n)
Vamos descobrir quais e e k satisfazem isso.
Calculando (a, n) * (e, k) :
(a + n e, n k) = (a, n)
Isso nos dá duas equações:
  1. a + n e = a n e = 0
  2. n k = n k = 1 (já que n é 1 ou -1)
A primeira equação n e = 0 só é possível se e = 0 .
Então, o elemento neutro é (0, 1) .
Vamos verificar:
(a, n) * (0, 1) = (a + n cdot 0, n cdot 1) = (a, n)
(0, 1) * (a, n) = (0 + 1 cdot a, 1 cdot n) = (a, n)
Tudo certo! (0, 1) é o elemento neutro.

Passo 6

4. Inversos
Para cada elemento (a, n) em Dinfty , precisamos encontrar um elemento (b, m) tal que:
(a, n) * (b, m) = (0, 1) e (b, m) * (a, n) = (0, 1)
Vamos resolver para b e m .
Dando a primeira equação:
(a + n b, n m) = (0, 1)
Isso nos dá:
  1. a + n b = 0 b = -an
  2. n m = 1 m = 1n
Como n é 1 ou -1:
  • Se n = 1 , então m = 1 e b = -a
  • Se n = -1 , então m = -1 e b = a
Portanto, o inverso de (a, n) é (-a, n) .
Vamos checar:
(a, n) * (-a, n) = (a + n(-a), n cdot n) = (a - a, n^2) = (0, 1)
(-a, n) * (a, n) = (-a + n a, n cdot n) = (-a + a, n^2) = (0, 1)
Funciona! Cada elemento tem seu inverso.

Passo 7

Conclusão:
Mostramos que Dinfty = Z times 1, -1 com a operação * definida por
(a, n) * (b, m) = (a + n b, n m)
satisfaz todas as propriedades de um grupo:
  1. Fechamento
  2. Associatividade
  3. Elemento Neutro (0, 1)
  4. Inversos (-a, n)

Resposta

Sim, (Dinfty, *) é um grupo e pode ser considerado como o produto direto G times H , onde G = (Z, +) e H = (1, -1, cdot) .

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