Considere o conjunto
munido da operação *, definida por
Mostre que (
) é um grupo. Podemos considerar
como o produto direto
, onde
e
denota a multiplicação usual?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um conjunto chamado
com uma operação * definidinha assim:
Nossa missão é mostrar que
é um grupo. Além disso, queremos ver se
pode ser considerado como o produto direto de dois grupos menores:
e
.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de Teoria dos Grupos, como associatividade, elemento neutro e inversos. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um grupo. Um grupo é um conjunto com uma operação que satisfaz quatro propriedades:
- Fechamento: Se você aplicar a operação a dois elementos do grupo, o resultado também está no grupo.
- Associatividade: A ordem de aplicação da operação não altera o resultado.
- Elemento Neutro: Existe um elemento no grupo que, quando usado na operação com qualquer outro elemento, deixa esse outro elemento inalterado.
- Inversos: Para cada elemento no grupo, existe outro que “desfaz” a operação, voltando ao elemento neutro.
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para
.
Passo 3
1. Fechamento
Precisamos mostrar que se você pegar dois elementos qualquer de
, digamos
e
, e aplicar a operação *, o resultado também está em
.
Calculando:
- Primeira coordenada:
é um número inteiro, já que e são inteiros e é 1 ou -1. - Segunda coordenada:
é a multiplicação de 1 e -1, que sempre resulta em 1 ou -1.
Então,
também está em
. Fechamento comprovado!
Passo 4
2. Associatividade
Precisamos verificar se a operação * é associativa, ou seja, se:
Vamos calcular cada lado separadamente.
Esquerda:
Direita:
Agora simplificando:
-
Primeiro componente da esquerda:
-
Primeiro componente da direita:
-
Segundo componente da esquerda:
-
Segundo componente da direita:
Como ambos os lados são iguais, a operação é associativa!
Passo 5
3. Elemento Neutro
Precisamos encontrar um elemento
em
tal que, para todo
, tenha:
Vamos descobrir quais
e
satisfazem isso.
Calculando
:
Isso nos dá duas equações:
-
⇒ -
⇒ (já que é 1 ou -1)
A primeira equação
só é possível se
.
Então, o elemento neutro é
.
Vamos verificar:
Tudo certo!
é o elemento neutro.
Passo 6
4. Inversos
Para cada elemento
em
, precisamos encontrar um elemento
tal que:
Vamos resolver para
e
.
Dando a primeira equação:
Isso nos dá:
-
⇒ -
⇒
Como
é 1 ou -1:
- Se
, então e - Se
, então e
Portanto, o inverso de
é
.
Vamos checar:
Funciona! Cada elemento tem seu inverso.
Passo 7
Conclusão:
Mostramos que
com a operação * definida por
satisfaz todas as propriedades de um grupo:
- Fechamento
- Associatividade
- Elemento Neutro
- Inversos
Resposta
Sim,
é um grupo e pode ser considerado como o produto direto
, onde
e
.