Seja (G, *) um grupo com elemento neutro e. Demonstre que
a * b * c=e Long<=ftrightarrow b * c * a=e

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que, em um grupo (G, *) com elemento neutro e , a equação a * b * c = e é equivalente a b * c * a = e . Vamos usar conceitos de grupos, como a existência de elementos inversos e a propriedade associativa da operação. Precisamos lembrar que em grupos, a ordem das operações e os inversos são fundamentais para resolver esse tipo de problema.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a * b * c = e e mostrar que isso implica b * c * a = e . Sabemos que todo elemento em um grupo tem um inverso, então vamos multiplicar ambos os lados da equação por a à esquerda.
Multiplicando por a à esquerda:
a^-1 * (a * b * c) = a^-1 * e
Como a^-1 * a = e e e * b * c = b * c , temos:
e * b * c = b * c = a^-1 * e = a^-1
Então, b * c = a^-1 .

Passo 3

Agora, queremos encontrar b * c * a . Sabemos que b * c = a^-1 , então substituindo:
b * c * a = a^-1 * a
E sabemos que a^-1 * a = e . Portanto:
b * c * a = e
Isso mostra que se a * b * c = e , então b * c * a = e .

Passo 4

Agora, precisamos mostrar o contrário: se b * c * a = e , então a * b * c = e . Vamos seguir um raciocínio similar.
Multiplicando ambos os lados da equação b * c * a = e por a^-1 à direita:
(b * c * a) * a^-1 = e * a^-1
Como a * a^-1 = e e b * c * e = b * c , temos:
b * c * e = b * c = e * a^-1 = a^-1
Então, b * c = a^-1 .

Passo 5

Agora, queremos encontrar a * b * c . Sabemos que b * c = a^-1 , então substituindo:
a * b * c = a * a^-1
E sabemos que a * a^-1 = e . Portanto:
a * b * c = e
Isso mostra que se b * c * a = e , então a * b * c = e .

Resposta

Conseguimos provar que a * b * c = e ocorre se e somente se b * c * a = e em um grupo (G, *) com elemento neutro e .

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