Seja
um grupo com elemento neutro
. Demonstre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que, em um grupo
com elemento neutro
, a equação
é equivalente a
. Vamos usar conceitos de grupos, como a existência de elementos inversos e a propriedade associativa da operação. Precisamos lembrar que em grupos, a ordem das operações e os inversos são fundamentais para resolver esse tipo de problema.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que
e mostrar que isso implica
. Sabemos que todo elemento em um grupo tem um inverso, então vamos multiplicar ambos os lados da equação por
à esquerda.
Multiplicando por
à esquerda:
Como
e
, temos:
Então,
.
Passo 3
Agora, queremos encontrar
. Sabemos que
, então substituindo:
E sabemos que
. Portanto:
Isso mostra que se
, então
.
Passo 4
Agora, precisamos mostrar o contrário: se
, então
. Vamos seguir um raciocínio similar.
Multiplicando ambos os lados da equação
por
à direita:
Como
e
, temos:
Então,
.
Passo 5
Agora, queremos encontrar
. Sabemos que
, então substituindo:
E sabemos que
. Portanto:
Isso mostra que se
, então
.
Resposta
Conseguimos provar que
ocorre se e somente se
em um grupo
com elemento neutro
.