Seja G um grupo cíclico e N um subgrupo de G. Mostre que G / N é cíclico. Além disso, mostre que a recíproca não é válida, ou seja, podemos ter G / N cíclico mesmo que G não seja.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar duas coisas:
  1. Se G é cíclico e N é qualquer subgrupo, então o quociente G/N também é cíclico.
  2. A recíproca falha: existe grupo G não cíclico e subgrupo N tal que G/N é cíclico.
    O conteúdo principal é definição de grupo cíclico e a descrição de elementos de G/N como classes laterais.

Passo 2

Como G é cíclico, existe gin G tal que
G=lang<= grang<==g^kmid kin Z
No quociente, qualquer elemento é da forma xN com xin G. Escrevendo x=g^k, temos
xN = g^kN = (gN)^k,
ou seja, toda classe lateral é uma potência de gN. Logo
G/N=lang<= gNrang<=
é cíclico, gerado por gN.

Passo 3

Para ver que a recíproca não vale, basta um exemplo. Seja
G = Z2 times Z2
o grupo de Klein (não é cíclico), e tome o subgrupo
N = (0,0),(1,1)
Como G é abeliano, N é normal e |G|=4, |N|=2, segue |G/N|=2. Mas todo grupo de ordem 2 é isomorfo a Z2, logo G/N é cíclico, embora G não seja.

Resposta

Mostramos que, se G=lang<= grang<=, então G/N=lang<= gNrang<= é cíclico. Entretanto, o exemplo
;G= Z2times Z2,
;N=(0,0),(1,1)
é um caso em que G não é cíclico mas G/Ncong Z2 é cíclico.

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