Seja
um grupo cíclico e
um subgrupo de
. Mostre que
é cíclico. Além disso, mostre que a recíproca não é válida, ou seja, podemos ter
cíclico mesmo que
não seja.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar duas coisas:
- Se
é cíclico e é qualquer subgrupo, então o quociente também é cíclico. - A recíproca falha: existe grupo
não cíclico e subgrupo tal que é cíclico.
O conteúdo principal é definição de grupo cíclico e a descrição de elementos decomo classes laterais.
Passo 2
Como
é cíclico, existe
tal que
No quociente, qualquer elemento é da forma
com
. Escrevendo
, temos
ou seja, toda classe lateral é uma potência de
. Logo
é cíclico, gerado por
.
Passo 3
Para ver que a recíproca não vale, basta um exemplo. Seja
o grupo de Klein (não é cíclico), e tome o subgrupo
Como
é abeliano,
é normal e
,
, segue
. Mas todo grupo de ordem
é isomorfo a
, logo
é cíclico, embora
não seja.
Resposta
Mostramos que, se
, então
é cíclico. Entretanto, o exemplo
,
é um caso em que não é cíclico mas
é cíclico.
é um caso em que