Beleza, vamos lá! A gente tem o elemento g = 25 no conjunto Z30 . O exercício quer que a gente descubra a ordem de g , que é o(g) , e o subgrupo gerado por g , que é lang<= g rang<= . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a ordem de um elemento e como formar subgrupos em grupos cíclicos. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre a ordem de um elemento. Em um grupo, a ordem de um elemento g é o menor número positivo n tal que n cdot g = 0 (no caso de grupos aditivos como Z30 ). Isso significa que a gente vai somar g consigo mesmo n vezes e chegar no elemento neutro, que é 0.
Passo 3
Vamos calcular a ordem de g = 25 em Z30 . A gente precisa encontrar o menor n tal que:
25 cdot n equiv 0 (mod 30)
Isso quer dizer que 25n tem que ser múltiplo de 30.
Passo 4
Para achar esse n , vamos usar o máximo divisor comum (MDC) entre 25 e 30. Calculando:
MDC(25, 30) = 5
A ordem de g é dada por:
o(g) = 30MDC(25, 30) = 305 = 6
Então, a ordem de g é 6.
Passo 5
Agora, vamos determinar o subgrupo gerado por g , ou seja, lang<= g rang<= . Isso inclui todos os múltiplos de g dentro de Z30 :