Sendo g=25 in Z30, estabeleça o(g) e lang<= grang<=.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o elemento g = 25 no conjunto Z30 . O exercício quer que a gente descubra a ordem de g , que é o(g) , e o subgrupo gerado por g , que é lang<= g rang<= . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a ordem de um elemento e como formar subgrupos em grupos cíclicos. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a ordem de um elemento. Em um grupo, a ordem de um elemento g é o menor número positivo n tal que n cdot g = 0 (no caso de grupos aditivos como Z30 ). Isso significa que a gente vai somar g consigo mesmo n vezes e chegar no elemento neutro, que é 0.

Passo 3

Vamos calcular a ordem de g = 25 em Z30 . A gente precisa encontrar o menor n tal que:
25 cdot n equiv 0 (mod 30)
Isso quer dizer que 25n tem que ser múltiplo de 30.

Passo 4

Para achar esse n , vamos usar o máximo divisor comum (MDC) entre 25 e 30. Calculando:
MDC(25, 30) = 5
A ordem de g é dada por:
o(g) = 30MDC(25, 30) = 305 = 6
Então, a ordem de g é 6.

Passo 5

Agora, vamos determinar o subgrupo gerado por g , ou seja, lang<= g rang<= . Isso inclui todos os múltiplos de g dentro de Z30 :
lang<= g rang<= = 0 cdot g, 1 cdot g, 2 cdot g, 3 cdot g, 4 cdot g, 5 cdot g
Calculando cada um:
0 cdot 25 &equiv 0 (mod 30) 1 cdot 25 &equiv 25 (mod 30) 2 cdot 25 &equiv 50 equiv 20 (mod 30) 3 cdot 25 &equiv 75 equiv 15 (mod 30) 4 cdot 25 &equiv 100 equiv 10 (mod 30) 5 cdot 25 &equiv 125 equiv 5 (mod 30)

Resposta

A ordem de g é o(g) = 6 e o subgrupo gerado por g é:
lang<= g rang<= = , 0,, 5,, 10,, 15,, 20,, 25 ,

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