Seja
o grupo dos Quatérnios, ou seja,
com
i in C , munido da multiplicação usual de matrizes. Mostre que
H unlhd Q8 e estabeleça
Q8 / H , onde
H=lang<=(cc i & 0 0 & -i )rang<=
Passo 1
O enunciado nos dá o grupo dos quatérnios
em que
e o subgrupo
O que precisamos mostrar é que
é normal em
e descrever o grupo quociente
.
Passo 2
Compute-se as potências de
Em particular
Logo
e portanto
lvert Hrvert=4 .
Passo 3
Como
lvert Q8rvert=8 e
lvert Hrvert=4 , o índice
[Q8:H]=2 . Mas todo subgrupo de índice
2 é normal. Portanto
Passo 4
Para ver os cosets de
H em
Q8 , note que basta escolher um elemento fora de
H , por exemplo
Então os cosets são
Como
B^2=-Iin H , segue
ou seja, o coset
B,H tem ordem
2 no quociente.
Passo 5
O grupo quociente
tem exatamente dois elementos e o não trivial é de ordem
2 . Logo