Seja Q8 o grupo dos Quatérnios, ou seja,
Q8= pm(cc 1 & 0 0 & 1 ), pm(cc i & 0 0 & -i ), pm(cc 0 & 1 -1 & 0 ), pm(cc 0 & i i & 0 )
com i in C, munido da multiplicação usual de matrizes. Mostre que H unlhd Q8 e estabeleça Q8 / H, onde
H=lang<=(cc i & 0 0 & -i )rang<=

Passo 1

O enunciado nos dá o grupo dos quatérnios
em que
e o subgrupo
O que precisamos mostrar é que é normal em e descrever o grupo quociente .

Passo 2

Compute-se as potências de
A=i&00&-i
Em particular
A^2=-1&00&-1=-I, A^3=Acdot A^2=-A, A^4=I
Logo
H=I,;A,;A^2,;A^3=pm I,;pm A,
e portanto lvert Hrvert=4.

Passo 3

Como lvert Q8rvert=8 e lvert Hrvert=4, o índice [Q8:H]=2. Mas todo subgrupo de índice 2 é normal. Portanto
Hunlhd Q8

Passo 4

Para ver os cosets de H em Q8, note que basta escolher um elemento fora de H, por exemplo
B=0&1-1&0notin H
Então os cosets são
He B,H=B,;BA,;BA^2,;BA^3
Como B^2=-Iin H, segue
(B,H)^2=;B,Hcdot B,H=(B^2),H=H,
ou seja, o coset B,H tem ordem 2 no quociente.

Passo 5

O grupo quociente
Q8/H=,H,;B,H
tem exatamente dois elementos e o não trivial é de ordem 2. Logo
Q8/Hcong Z/2Z

Resposta

Q8/H;cong;Z/2Z

Exercícios relacionados