Considere o conjunto
e
.
(a) Esboce o conjunto
.
(b) Determine o conjunto dos pontos interiores a
.
(c) O conjunto
é aberto? Justifique.
(a) Esboce o conjunto
(b) Determine o conjunto dos pontos interiores a
(c) O conjunto
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um conjunto
. Isso envolve conceitos de conjuntos no plano cartesiano, pontos interiores e propriedades de conjuntos abertos na matemática. Para resolver, vamos precisar visualizar o conjunto no plano, identificar quais pontos são interiores e verificar se
satisfaz as condições de um conjunto aberto.
Passo 2
(a) Esboçando o conjunto A:
Vamos representar no plano cartesiano os pontos
que satisfazem
e
.
- A condição
significa que está entre 0 e 1, mas sem incluir os valores 0 e 1. - A condição
significa que está entre 0 e 1, incluindo 1, mas sem incluir 0.
No esboço,
será uma região retangular que vai de
a
(sem as linhas de
e
) e de
a
(incluindo a linha de
).
Passo 3
(b) Determinando o conjunto dos pontos interiores a A:
Pontos interiores são aqueles que possuem uma vizinhança completamente contida no conjunto. Vamos analisar as condições de
:
- Para
e , qualquer ponto dentro desse intervalo terá uma pequena “bola” ao redor que ainda está dentro de . - Os pontos onde
não possuem uma vizinhança completamente dentro de , já que acima de não está no conjunto.
Portanto, o conjunto dos pontos interiores a
é
.
Passo 4
(c) Verificando se o conjunto A é aberto:
Um conjunto é aberto se todos os seus pontos são pontos interiores.
Na parte b), vimos que os pontos onde
não são interiores, pois não possuem uma vizinhança completamente dentro de
. Como
possui pontos que não são interiores,
não é um conjunto aberto.
Resposta
(a) O conjunto
é um retângulo no plano cartesiano compreendido entre
e
, incluindo a linha superior
mas sem incluir as linhas laterais
e
.
(b) O conjunto dos pontos interiores a
é
.
(c) Não, o conjunto
não é aberto porque contém pontos na borda, como aqueles onde
, que não são pontos interiores.