Considere o conjunto A=(x, y) in R^2: 0<x<1 e 0<y <= 1.
(a) Esboce o conjunto A.
(b) Determine o conjunto dos pontos interiores a A.
(c) O conjunto A é aberto? Justifique.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um conjunto A = (x, y) in R^2 : 0 < x < 1 e 0 < y <= 1. Isso envolve conceitos de conjuntos no plano cartesiano, pontos interiores e propriedades de conjuntos abertos na matemática. Para resolver, vamos precisar visualizar o conjunto no plano, identificar quais pontos são interiores e verificar se A satisfaz as condições de um conjunto aberto.

Passo 2

(a) Esboçando o conjunto A:
Vamos representar no plano cartesiano os pontos (x, y) que satisfazem 0 < x < 1 e 0 < y <= 1.
  • A condição 0 < x < 1 significa que x está entre 0 e 1, mas sem incluir os valores 0 e 1.
  • A condição 0 < y <= 1 significa que y está entre 0 e 1, incluindo 1, mas sem incluir 0.
No esboço, A será uma região retangular que vai de x = 0 a x = 1 (sem as linhas de x = 0 e x = 1) e de y = 0 a y = 1 (incluindo a linha de y = 1).

Passo 3

(b) Determinando o conjunto dos pontos interiores a A:
Pontos interiores são aqueles que possuem uma vizinhança completamente contida no conjunto. Vamos analisar as condições de A:
  • Para 0 < x < 1 e 0 < y < 1, qualquer ponto dentro desse intervalo terá uma pequena “bola” ao redor que ainda está dentro de A.
  • Os pontos onde y = 1 não possuem uma vizinhança completamente dentro de A, já que acima de y = 1 não está no conjunto.
Portanto, o conjunto dos pontos interiores a A é (x, y) in R^2 : 0 < x < 1 e 0 < y < 1.

Passo 4

(c) Verificando se o conjunto A é aberto:
Um conjunto é aberto se todos os seus pontos são pontos interiores.
Na parte b), vimos que os pontos onde y = 1 não são interiores, pois não possuem uma vizinhança completamente dentro de A. Como A possui pontos que não são interiores, A não é um conjunto aberto.

Resposta

(a) O conjunto A é um retângulo no plano cartesiano compreendido entre 0 < x < 1 e 0 < y <= 1, incluindo a linha superior y = 1 mas sem incluir as linhas laterais x = 0 e x = 1.
(b) O conjunto dos pontos interiores a A é (x, y) in R^2 : 0 < x < 1 e 0 < y < 1.
(c) Não, o conjunto A não é aberto porque contém pontos na borda, como aqueles onde y = 1, que não são pontos interiores.

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