Sejam e . Verifique se cada uma das sentenças abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique com detalhes.
Se e existem, então é diferenciável em .
Passo 1
O enunciado pergunta se, para uma função , a existência de e garante que seja diferenciável em . O conteúdo aqui é a definição de diferenciabilidade em várias variáveis (existência de um bom approximador linear) e a relação com derivadas parciais.
Passo 2
A afirmação é falsa. Para refutá-la basta apresentar um contra-exemplo de uma função cujas derivadas parciais em um ponto existam, mas que não seja diferenciável ali.
Passo 3
Definimos
Essa função é clássica para mostrar que derivadas parciais podem existir sem diferenciabilidade total.]
Passo 4
Calculamos partial fpartial x(0,0) e partial fpartial y(0,0) pela definição: