Sejam f: R^2 R e (x0, y0) in R^2. Verifique se cada uma das sentenças abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique com detalhes.
Se partial fpartial x(x0, y0) e partial fpartial y(x0, y0) existem, então f é diferenciável em (x0, y0).

Passo 1

O enunciado pergunta se, para uma função f:R^2toR, a existência de partial fpartial x(x0,y0) e partial fpartial y(x0,y0) garante que f seja diferenciável em (x0,y0). O conteúdo aqui é a definição de diferenciabilidade em várias variáveis (existência de um bom approximador linear) e a relação com derivadas parciais.

Passo 2

A afirmação é falsa. Para refutá-la basta apresentar um contra-exemplo de uma função cujas derivadas parciais em um ponto existam, mas que não seja diferenciável ali.

Passo 3

Definimos
f(x,y)= dfracx,yraizx^2+y^2,& (x,y)neq(0,0),[6pt] 0,&(x,y)=(0,0)
Essa função é clássica para mostrar que derivadas parciais podem existir sem diferenciabilidade total.]

Passo 4

Calculamos partial fpartial x(0,0) e partial fpartial y(0,0) pela definição:
partial fpartial x(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto00-0h =0,
partial fpartial y(0,0) =limhto0f(0,h)-f(0,0)h =limhto00-0h =0
Logo, ambas as derivadas parciais existem em (0,0) e valem zero.

Passo 5

Para ser diferenciável em (0,0), o resíduo
R(x,y)=f(x,y)-l(f(0,0)+0cdot x+0cdot yr) =f(x,y)
deveria satisfazer
lim(x,y)to(0,0)R(x,y)raizx^2+y^2=0
Mas ao seguir pela reta y=x temos, para tneq0,
f(t,t)=tcdot traizt^2+t^2 =t^2|t|raiz2 =|t|raiz2, raizt^2+t^2=|t|raiz2,
então
R(t,t)raizt^2+t^2 =f(t,t)|t|raiz2 =tfrac|t|raiz2|t|raiz2 =tfrac12 longrightarrow tfrac12neq0
Como esse limite não é zero, f não é diferenciável em (0,0), embora as derivadas parciais existam.

Resposta

A afirmação é falsa.

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