Uma partícula está no estado fundamental numa caixa unidimensional de comprimento L. (A caixa tem uma extremidade na origem e a outra extremidade no eixo positivo de x ). Determine a probabilidade de encontrar a partícula num intervalo de comprimento De<a x=0,002 L e centrada em x=34 L (Como De<a x é muito pequeno não é necessário fazer integração.)

Passo 1

O enunciado descreve uma partícula no estado fundamental numa caixa unidimensional de comprimento L com fronteiras em x=0 e x=L. O conteúdo é mecânica quântica de potencial infinito, onde a função de onda estacionária no nível mais baixo é usada para calcular densidade de probabilidade. Para resolver precisamos da forma da função de onda psi1(x), da densidade |psi1(x)|^2 e da aproximação de probabilidade num intervalo pequeno:
P(intervalo pequeno)approx |psi1(x0)|^2,De<a x

Passo 2

A função de onda do estado fundamental é
psi1(x)=raiz2Lsin!gl(pi xLgr)
e a densidade de probabilidade correspondente é
|psi1(x)|^2=2Lsin^2!gl(pi xLgr)

Passo 3

Avaliaremos essa densidade em x0=tfrac34L. Como
sin!gl(piLcdot34Lgr)=sin!l(tfrac3pi4r)=raiz22,
temos
sin^2!l(tfrac3pi4r)=12 Longrightarrow |psi1(tfrac34L)|^2 =2Lcdot12 =1L

Passo 4

Para um intervalo muito pequeno De<a x, a probabilidade de encontrar a partícula é
Papprox|psi1(tfrac34L)|^2,De<a x =1L,De<a x
Substituindo De<a x=0,002,L obtém-se
P=0,002,LL=0,002

Resposta

A probabilidade é 0,002 (isto é, 0,2 %).

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