Sejam f: R^2 R e (x0, y0) in R^2. Verifique se cada uma das sentenças abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique com detalhes.
Se f é contínua em (x0, y0) então f é diferenciável em (x0, y0).

Passo 1

O enunciado pergunta se “continuidade implica diferenciabilidade” para uma função f:R^2toR no ponto (x0,y0). O conteúdo é topologia e cálculo em várias variáveis: vamos precisar das definições de continuidade e de diferenciabilidade em R^2 e, em seguida, mostrar que a implicação é falsa por meio de um contra-exemplo.

Passo 2

Contínuo em (x0,y0) significa
lim(x,y)to(x0,y0)f(x,y)=f(x0,y0)
Diferenciável em (x0,y0) significa que existe uma aplicação linear L:R^2toR tal que, escrevendo (h,k)=(x-x0,y-y0), vale
lim(h,k)to(0,0)f(x0+h,y0+k)-f(x0,y0)-L(h,k)raizh^2+k^2=0
Além disso, se f for diferenciável então existem as derivadas parciais partial f/partial x e partial f/partial y em (x0,y0) e L(h,k)=fx(x0,y0),h+fy(x0,y0),k.

Passo 3

Para ver que “contínuo não basta” damos o contra-exemplo
f(x,y)=|x|
Note que para todo (x,y) a única dependência é em x. Logo, f é claramente contínua em qualquer ponto, em especial em (0,0), pois
lim(x,y)to(0,0)|x|=0=f(0,0)

Passo 4

Verificamos a não-diferenciabilidade em (0,0) observando a derivada parcial em x:
fx(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto0|h|h,
que não existe (é 1 para h>0 e -1 para h<0). Como não há derivada parcial em x, não existe aplicação linear L que aproxime f por diferença de ordem superior a raizh^2+k^2. Logo f não é diferenciável em (0,0).

Resposta

A sentença é falsa.

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