Sejam
e
. Verifique se cada uma das sentenças abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique com detalhes.
Se
é contínua em
então
é diferenciável em
.
Se
Passo 1
O enunciado pergunta se “continuidade implica diferenciabilidade” para uma função
no ponto
. O conteúdo é topologia e cálculo em várias variáveis: vamos precisar das definições de continuidade e de diferenciabilidade em
e, em seguida, mostrar que a implicação é falsa por meio de um contra-exemplo.
Passo 2
Contínuo em
significa
Diferenciável em
significa que existe uma aplicação linear
tal que, escrevendo
, vale
Além disso, se
for diferenciável então existem as derivadas parciais
e
em
e
.
Passo 3
Para ver que “contínuo não basta” damos o contra-exemplo
Note que para todo
a única dependência é em
. Logo,
é claramente contínua em qualquer ponto, em especial em
, pois
Passo 4
Verificamos a não-diferenciabilidade em
observando a derivada parcial em
:
que não existe (é
para
e
para
). Como não há derivada parcial em
, não existe aplicação linear
que aproxime
por diferença de ordem superior a
. Logo
não é diferenciável em
.
Resposta
A sentença é falsa.