Esboce as curvas de níveis -1,0 e 2 da função f(x, y)=x3 x+5 y.

Passo 1

O enunciado pede para desenhar as curvas de nível
f(x,y)=x3x+5y
correspondentes aos valores c=-1, c=0 e c=2.
O conteúdo é análise de curvas de nível de funções de duas variáveis e vamos precisar resolver
x3x+5y=c
para obter a geometria de cada curva.

Passo 2

Começamos escrevendo a condição de nível genérica
x3x+5y=c
Multiplicando em cruz:
x = c,(3x+5y) = 3cx +5cy
e isolando y:
x -3c x =5c,y Longrightarrow y = x(1-3c)5c,
válido sempre que cneq 0.

Passo 3

Para c=0 a equação x/(3x+5y)=0 obriga x=0 (desde que o denominador seja não nulo).
Logo, a curva de nível c=0 é a reta vertical
x=0,
exceto onde 3x+5y=0, mas nesse caso x=0 não anula o denominador.

Passo 4

Para cneq 0 temos a família de retas que passam pela origem com coeficiente angular
m(c)=1-3c5c,
ou seja
y = m(c),x

Passo 5

Aplicando aos valores pedidos:
  • Para c=2:
m(2)=1-3cdot 25cdot 2=1-610=-tfrac12,
ou seja
y=-tfrac12,x
  • Para c=-1:
m(-1)=1-3(-1)5(-1)=1+3-5=-tfrac45,
ou seja
y=-tfrac45,x

Passo 6

Observe que a função não está definida sobre a reta
3x+5y=0
(denominador nulo), que fica como assíntota das curvas de nível.

Resposta

As curvas de nível são:
c=0: reta x=0.
c=2: reta y=-tfrac12,x.
c=-1: reta y=-tfrac45,x.

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