Considere que o conjunto
é um espaço vetorial com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas por: [2 pontos]
e
Mostre que o elemento neutro da adição é o vetor
e que o elemento simétrico é
.
Passo 1
O enunciado nos dá o conjunto \r
\r
com as operações definidas por\r
com as operações definidas por\r
Precisamos identificar em
o elemento neutro (o vetor
tal que
para todo
) e, para cada
, o simétrico ou inverso aditivo (o vetor
tal que
).
Passo 2
Suponha que o elemento neutro seja
. Então para todo
deve valer\r
Pela definição de “
” isso dá\r
Como isto tem que ser verdade para todo
e todo
, concluímos que\r
Logo o elemento neutro da adição é
. De fato,\r
Passo 3
Agora, dado um vetor arbitrário
, queremos seu inverso aditivo
tal que\r
Pela definição de “
” isso equivale a\r
ou seja,\r
Como
e
, a única solução é\r
Portanto o simétrico de
é
, pois\r
Resposta
O elemento neutro da adição é
e o elemento simétrico de
é
.