Considere que o conjunto V=(x, y) / x, y>0 é um espaço vetorial com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas por: [2 pontos]
(x1, y1)+(x2, y2)=(x1 x2, y1 y2)
e
alpha(x, y)=(x^alpha, y^alpha)
Mostre que o elemento neutro da adição é o vetor (1,1) e que o elemento simétrico é (1x, 1y).

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto \r
,V=(x,y)mid x>0,;y>0 \r
com as operações definidas por\r
(x1,y1)+(x2,y2)=(x1x2,;y1y2),
alpha,(x,y)=(x^alpha,;y^alpha) \r
Precisamos identificar em (V,+) o elemento neutro (o vetor e tal que v+e=v para todo vin V) e, para cada v, o simétrico ou inverso aditivo (o vetor u tal que v+u=e).

Passo 2

Suponha que o elemento neutro seja e=(a,b). Então para todo (x,y)in V deve valer\r
(x,y)+(a,b)=(x,y) \r
Pela definição de “ +” isso dá\r
(x,a,;y,b)=(x,y) \r
Como isto tem que ser verdade para todo x>0 e todo y>0, concluímos que\r
a=1 e b=1 \r
Logo o elemento neutro da adição é (1,1). De fato,\r
(x,y)+(1,1)=(xcdot1,;ycdot1)=(x,y)

Passo 3

Agora, dado um vetor arbitrário (x,y), queremos seu inverso aditivo (u1,u2) tal que\r
(x,y)+(u1,u2)=(1,1) \r
Pela definição de “ +” isso equivale a\r
(x,u1,;y,u2)=(1,1), \r
ou seja,\r
x,u1=1 e y,u2=1 \r
Como x>0 e y>0, a única solução é\r
u1=1x, u2=1y \r
Portanto o simétrico de (x,y) é l(tfrac1x,,tfrac1yr), pois\r
(x,y)+l(tfrac1x,tfrac1yr) =l(xcdottfrac1x,,ycdottfrac1yr) =(1,1)

Resposta

O elemento neutro da adição é (1,1) e o elemento simétrico de (x,y) é l(tfrac1x,,tfrac1yr).

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