Verifique quais dentre as funções abaixo são transformações lineares.
T: R^3 R^2 dada por T(x, y, z)=(x-2 y+z, 3 x+2 y-z)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação
Tcolon R^3 to R^2
definida por
T(x,y,z) = (,x - 2y + z,;3x + 2y - z,)
é uma transformação linear. Para isso, precisamos usar a definição de transformação linear, que exige verificar duas propriedades para quaisquer vetores (x1,y1,z1),(x2,y2,z2)inR^3 e qualquer escalar alphainR:
  1. Aditividade: Tl((x1,y1,z1)+(x2,y2,z2)r) = T(x1,y1,z1) + T(x2,y2,z2)
  2. Homogeneidade: Tl(alpha(x,y,z)r) = alpha,T(x,y,z)

Passo 2

Verificamos a aditividade. Seja (x1,y1,z1) e (x2,y2,z2) em R^3. Então
Tl((x1,y1,z1)+(x2,y2,z2)r) = Tl(x1+x2,;y1+y2,;z1+z2r)
= l((x1+x2)-2(y1+y2)+(z1+z2),;3(x1+x2)+2(y1+y2)-(z1+z2)r)
= l((x1-2y1+z1)+(x2-2y2+z2),;(3x1+2y1-z1)+(3x2+2y2-z2)r)
= (x1-2y1+z1,;3x1+2y1-z1) ;+;(x2-2y2+z2,;3x2+2y2-z2)
= T(x1,y1,z1) + T(x2,y2,z2)

Passo 3

Verificamos a homogeneidade. Seja alphainR e (x,y,z)inR^3. Então
Tl(alpha(x,y,z)r) = T(alpha x,;alpha y,;alpha z)
= l(alpha x - 2(alpha y) + alpha z,;3(alpha x)+2(alpha y)-(alpha z)r)
= l(alpha(x - 2y + z),;alpha(3x + 2y - z)r) = alpha,T(x,y,z)

Resposta

A aplicação T(x,y,z)=(x-2y+z,,3x+2y-z) satisfaz aditividade e homogeneidade, logo é uma transformação linear.

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