Considere o conjunto finito de números naturais 0,1,2, ldots, 25. Formando grupos de cinco números diferentes desse conjunto, indique o número de grupos em que a soma dos termos é par?

Passo 1

O enunciado pede: a partir do conjunto 0,1,2,dots,25 (26 números), formar todos os grupos (subconjuntos) de 5 elementos diferentes e contar quantos desses grupos têm soma dos termos par. O conteúdo aqui é combinatória de paridade: a soma será par se, e somente se, escolhermos um número par de elementos ímpares.

Passo 2

Contamos quantos números pares e quantos ímpares há em 0,1,2,dots,25. Os pares são 0,2,4,dots,24, total de 13, e os ímpares são 1,3,5,dots,25, também 13.

Passo 3

Para que a soma de 5 números seja par, precisamos escolher i ímpares com i par, isto é i=0,2,4.
Caso i=0: escolhemos 0 ímpares e 5 pares. O número de maneiras é
binom130,binom135 =;1cdotbinom135 =;1287

Passo 4

Caso i=2: escolhemos 2 ímpares e 3 pares. O número de maneiras é
binom132,binom133 =78cdot286 =22308

Passo 5

Caso i=4: escolhemos 4 ímpares e 1 par. O número de maneiras é
binom134,binom131 =715cdot13 =9295

Passo 6

Somando as três possibilidades, o total de subconjuntos de 5 elementos com soma par é
1287 + 22308 + 9295 = 32890

Resposta

32890

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