Determine o limite, caso exista:
a. Não existe o limite
b. 1
c.
d. 0
e. 2
b. 1
c.
d. 0
e. 2
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um limite envolvendo duas variáveis,
e
, quando elas se aproximam de
. O enunciado pede para determinar:
Aqui, estamos trabalhando com limites em funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como o valor da fração se comporta à medida que
e
se aproximam de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar simplificar a expressão dentro do limite:
Agora, a expressão ficou mais fácil de analisar:
.
Passo 3
Para encontrar o limite quando
se aproxima de
, precisamos ver se o resultado é o mesmo independentemente do caminho que
e
tomam para chegar a zero.
Vamos testar dois caminhos diferentes:
-
Caminho ondeSubstituindo
por na expressão:
Neste caso, o limite é 2.
-
Caminho ondeSubstituindo
por :
À medida que
se aproxima de 0,
se aproxima de 1.
Passo 4
Observamos que dependendo do caminho escolhido, o limite resulta em valores diferentes (2 em um caminho e 1 em outro). Isso significa que o limite não é o mesmo em todas as direções ao se aproximar de
.
Passo 5
Quando o limite de uma função de duas variáveis depende do caminho seguido para o ponto de interesse, dizemos que o limite não existe.
Resposta
a. Não existe o limite