Determine o limite, caso exista:
lim (x, y) longrightarrow(0,0) x^2+yy
a. Não existe o limite
b. 1
c. infty
d. 0
e. 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um limite envolvendo duas variáveis, x e y , quando elas se aproximam de (0,0) . O enunciado pede para determinar:
lim (x, y) longrightarrow(0,0) x^2+yy
Aqui, estamos trabalhando com limites em funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como o valor da fração se comporta à medida que x e y se aproximam de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a expressão dentro do limite:
x^2 + yy = x^2y + yy = x^2y + 1
Agora, a expressão ficou mais fácil de analisar: x^2y + 1 .

Passo 3

Para encontrar o limite quando (x, y) se aproxima de (0,0) , precisamos ver se o resultado é o mesmo independentemente do caminho que x e y tomam para chegar a zero.
Vamos testar dois caminhos diferentes:
  1. Caminho onde y = x^2
    Substituindo y por x^2 na expressão:
x^2x^2 + 1 = 1 + 1 = 2
Neste caso, o limite é 2.
  1. Caminho onde y = x
    Substituindo y por x :
x^2x + 1 = x + 1
À medida que x se aproxima de 0, x + 1 se aproxima de 1.

Passo 4

Observamos que dependendo do caminho escolhido, o limite resulta em valores diferentes (2 em um caminho e 1 em outro). Isso significa que o limite não é o mesmo em todas as direções ao se aproximar de (0,0) .

Passo 5

Quando o limite de uma função de duas variáveis depende do caminho seguido para o ponto de interesse, dizemos que o limite não existe.

Resposta

a. Não existe o limite

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