Determine a resposta correta para o limite
lim (x, y) longrightarrow(0,0) 3 x y^4x^2+y^8
a. 1
b. Não existe o limite
c. 0
d. 3
e. infty

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A gente precisa encontrar o limite de 3 x y^4x^2+y^8 quando (x, y) se aproxima de (0,0) . Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente sobre limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos analisar como a função se comporta ao nos aproximarmos de (0,0) por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar entender o que acontece com o numerador e o denominador à medida que x e y se aproximam de 0. O numerador é 3xy^4 e o denominador é x^2 + y^8 . Quando x e y vão para 0, tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0, o que nos dá uma forma indeterminada 00 . Precisamos verificar se o limite existe ou não.

Passo 3

Para investigar se o limite existe, vamos calcular o limite ao longo de diferentes caminhos que levam (x, y) a (0,0). Se obtivermos o mesmo valor para todos os caminhos, o limite provavelmente existe e é igual a esse valor. Se obtermos valores diferentes, o limite não existe.

Passo 4

Vamos começar com o caminho y = 0 . Substituindo na função:
3x(0)^4x^2 + (0)^8 = 0x^2 = 0
Então, ao longo do caminho y = 0 , o limite é 0.

Passo 5

Agora, vamos tentar o caminho x = 0 . Substituindo na função:
3(0)y^4(0)^2 + y^8 = 0y^8 = 0
Novamente, o limite é 0 ao longo do caminho x = 0 .

Passo 6

Vamos testar um caminho mais geral, onde y = x^k . Substituindo na função:
3x(x^k)^4x^2 + (x^k)^8 = 3x^1 + 4kx^2 + x^8k
Para simplificar, vamos escolher k = 12 , então y = raizx . Substituindo:
3x(raizx)^4x^2 + (raizx)^8 = 3x cdot x^2x^2 + x^4 = 3x^3x^2 + x^4 = 3x1 + x^2
À medida que x se aproxima de 0, 3x1 + x^2 também se aproxima de 0.

Passo 7

Como vimos, independentemente do caminho que escolhemos para nos aproximar de (0,0), o limite da função sempre tende a 0. Isso sugere que o limite geral é 0.

Resposta

c. 0

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