( 4,0 pontos)Sejam a \in \mathbb{R} e n \in \mathbb{N} e a matriz
A=\left(\begin{array}{cc} 1 & a \\\\ 0 & -1 \end{array}\right)
a) Determine se A é diagonalizável. Calcule os autovelores e os autovetores da matriz A.
b) Calcule A^{n}.
Passo 1
O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix}1 & a\\[6pt]0 & -1\end{pmatrix},
com a\in\mathbb{R}. Precisamos determinar se A é diagonalizável (isto é, achar os autovalores e autovetores e verificar se há base de autovetores) e, em seguida, calcular A^n para n\in\mathbb{N}.]
Passo 2
Calcular os autovalores resolvendo \det(A - \lambda I)=0.
Como os autovalores \lambda_1=1 e \lambda_2=-1 são distintos, cada um tem multiplicidade algébrica 1 e produz um autovetor não nulo. Logo \{v_1,v_2\} é base de \mathbb{R}^2 e A é diagonalizável.
Passo 5
Formamos
P = \bigl[v_1\;|\;v_2\bigr] =\begin{pmatrix}1 & -a\\[3pt]0 & 2\end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix}1 & 0\\[3pt]0 & -1\end{pmatrix},
Em particular, se n é par, o termo \tfrac{a\bigl(1-(-1)^n\bigr)}2 é zero; se n é ímpar, vale a.]
Resposta
a) Os autovalores são \lambda_1=1, \lambda_2=-1. Autovetores: para \lambda_1, v_1=(1,0)^T; para \lambda_2, v_2=(-a,2)^T. Como os autovalores são distintos, A é diagonalizável.
b)