( 4,0 pontos)Sejam a \in \mathbb{R} e n \in \mathbb{N} e a matriz
A=\left(\begin{array}{cc} 1 & a \\\\ 0 & -1 \end{array}\right)
a) Determine se A é diagonalizável. Calcule os autovelores e os autovetores da matriz A.
b) Calcule A^{n}.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix}1 & a\\[6pt]0 & -1\end{pmatrix},
com a\in\mathbb{R}. Precisamos determinar se A é diagonalizável (isto é, achar os autovalores e autovetores e verificar se há base de autovetores) e, em seguida, calcular A^n para n\in\mathbb{N}.]

Passo 2

Calcular os autovalores resolvendo \det(A - \lambda I)=0.
\det\!\bigl(\begin{pmatrix}1-\lambda & a\\[3pt]0 & -1-\lambda\end{pmatrix}\bigr) =(1-\lambda)(-1-\lambda)=0.
Logo os autovalores são
\lambda_1 = 1, \quad \lambda_2 = -1.]

Passo 3

Para cada autovalor, achamos o espaço nulo de A-\lambda I.
— Para \lambda_1=1,
A - I = \begin{pmatrix}0 & a\\[3pt]0 & -2\end{pmatrix},
a equação (A-I)\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}=0
a\,y=0,\quad -2\,y=0\;\Longrightarrow\;y=0,\;x\text{ livre}.
Um autovetor associado é
v_1 = \begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix}.
— Para \lambda_2=-1,
A + I = \begin{pmatrix}2 & a\\[3pt]0 & 0\end{pmatrix},
daí
2x + a\,y=0\;\Longrightarrow\;x=-\frac{a}{2}y,\;y\text{ livre}.
Escolhendo y=2, um autovetor é
v_2 = \begin{pmatrix}-a\\\ 2\end{pmatrix}.]

Passo 4

Como os autovalores \lambda_1=1 e \lambda_2=-1 são distintos, cada um tem multiplicidade algébrica 1 e produz um autovetor não nulo. Logo \{v_1,v_2\} é base de \mathbb{R}^2 e A é diagonalizável.

Passo 5

Formamos
P = \bigl[v_1\;|\;v_2\bigr] =\begin{pmatrix}1 & -a\\[3pt]0 & 2\end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix}1 & 0\\[3pt]0 & -1\end{pmatrix},
e calcula-se
\det P = 2, \quad P^{-1} = \tfrac12\begin{pmatrix}2 & a\\[3pt]0 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 6

Usamos A^n = P\,D^n\,P^{-1}. Como
D^n = \begin{pmatrix}1^n & 0\\[3pt]0 & (-1)^n\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0\\[3pt]0 & (-1)^n\end{pmatrix},
segue que
A^n = \begin{pmatrix}1 & -a\\[3pt]0 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0\\[3pt]0 &(-1)^n\end{pmatrix} \tfrac12\begin{pmatrix}2 & a\\[3pt]0 & 1\end{pmatrix}.
Fazendo as multiplicações e simplificando:
A^n = \begin{pmatrix} 1 & \displaystyle\frac{a\bigl(1-(-1)^n\bigr)}{2}\\[8pt] 0 & (-1)^n \end{pmatrix}.
Em particular, se n é par, o termo \tfrac{a\bigl(1-(-1)^n\bigr)}2 é zero; se n é ímpar, vale a.]

Resposta

a) Os autovalores são \lambda_1=1, \lambda_2=-1. Autovetores: para \lambda_1, v_1=(1,0)^T; para \lambda_2, v_2=(-a,2)^T. Como os autovalores são distintos, A é diagonalizável.
b)
A^n =\begin{pmatrix} 1 & \displaystyle\frac{a\bigl(1-(-1)^n\bigr)}{2}\\[8pt] 0 & (-1)^n \end{pmatrix}.]

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