Considere o conjunto de funções:
E=1, e^i pi xL, e^2 i pi xL, e^3 i pi xL, ldots, e^-i pi xL, e^-2 i pi xL, e^-3 i pi xL, ldots,
Mostre que integral-L^L e^i m pi xL e^-i n pi xL=2 L de<am n.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre um conjunto de funções que envolvem exponenciais complexas. A matéria que estamos mexendo aqui é Série de Fourier e, mais especificamente, a ortogonalidade das funções exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar essas funções e usar a propriedade de que integrais de funções ortogonais têm resultados específicos.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na integral que precisamos calcular:
integral-L^L e^i m pi xL cdot e^-i n pi xL , dx
Aqui, temos duas exponenciais complexas multiplicadas. A ideia é simplificar essa expressão para facilitar a integração.

Passo 3

Vamos simplificar o produto das duas exponenciais. Lembrando que, quando multiplicamos potências com a mesma base, podemos somar os expoentes:
e^i m pi xL cdot e^-i n pi xL = e^i m pi xL - i n pi xL = e^i (m - n) pi xL
Agora, a integral fica:
integral-L^L e^i (m - n) pi xL , dx

Passo 4

Vamos resolver essa integral. A função exponencial complexa pode ser integrada usando a fórmula básica de integração:
integral e^k x , dx = 1k e^k x + C
No nosso caso, k = i (m - n) piL . Então, integrando, temos:
1i (m - n) piL [ e^i (m - n) pi xL ]-L^L
Simplificando o coeficiente:
Li (m - n) pi [ e^i (m - n) pi LL - e^i (m - n) (-L) piL ] = Li (m - n) pi [ e^i (m - n) pi - e^-i (m - n) pi ]

Passo 5

Agora, vamos usar a identidade de Euler para simplificar a diferença de exponenciais:
e^itheta - e^-itheta = 2i sin(theta)
Aplicando isso à nossa expressão:
Li (m - n) pi cdot 2i sin((m - n) pi) = 2L(m - n) pi sin((m - n) pi)

Passo 6

Sabemos que sin(k pi) é igual a zero para qualquer inteiro k, a menos que m = n. Então, para m neq n:
2L(m - n) pi cdot 0 = 0
Mas quando m = n, a expressão original da integral se torna:
integral-L^L e^0 , dx = integral-L^L 1 , dx = 2L
Isso implica que a integral é zero quando m neq n e igual a 2L quando m = n.

Resposta

integral-L^L e^i m pi xL e^-i n pi xL , dx = 2 L de<am n

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