Considere o conjunto de funções:
Mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre um conjunto de funções que envolvem exponenciais complexas. A matéria que estamos mexendo aqui é Série de Fourier e, mais especificamente, a ortogonalidade das funções exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar essas funções e usar a propriedade de que integrais de funções ortogonais têm resultados específicos.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na integral que precisamos calcular:
Aqui, temos duas exponenciais complexas multiplicadas. A ideia é simplificar essa expressão para facilitar a integração.
Passo 3
Vamos simplificar o produto das duas exponenciais. Lembrando que, quando multiplicamos potências com a mesma base, podemos somar os expoentes:
Agora, a integral fica:
Passo 4
Vamos resolver essa integral. A função exponencial complexa pode ser integrada usando a fórmula básica de integração:
No nosso caso,
. Então, integrando, temos:
Simplificando o coeficiente:
Passo 5
Agora, vamos usar a identidade de Euler para simplificar a diferença de exponenciais:
Aplicando isso à nossa expressão:
Passo 6
Sabemos que
é igual a zero para qualquer inteiro
, a menos que
. Então, para
:
Mas quando
, a expressão original da integral se torna:
Isso implica que a integral é zero quando
e igual a
quando
.