Considere o conjunto de funções:
E=1, e^i pi xL, e^2 i pi xL, e^3 i pi xL, ldots, e^-i pi xL, e^-2 i pi xL, e^-3 i pi xL, ldots,
Mostre que e^i m pi xL e e^-i n pi xL são L.I., se m neq n.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão que você me enviou pede para mostrar que as funções e^i m pi xL e e^-i n pi xL são linearmente independentes (LI) quando m neq n . Isso está relacionado ao estudo de independência linear em funções, que é um conceito importante em álgebra linear e análise funcional. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades de funções exponenciais e entender o que significa duas funções serem lineares independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa duas funções serem linearmente independentes. Duas funções f(x) e g(x) são LI se a única combinação linear que iguala a zero para todos os valores de x é quando os coeficientes dessa combinação são zero. Em outras palavras, se a f(x) + b g(x) = 0 para todo x , então necessariamente a = 0 e b = 0 .

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso às funções que temos: e^i m pi xL e e^-i n pi xL . Queremos mostrar que se combinarmos essas duas funções de forma linear e igualarmos a zero, os coeficientes dessa combinação devem ser zero.
Então, suponha que exista uma combinação linear:
a cdot e^i m pi xL + b cdot e^-i n pi xL = 0
para todo x , onde a e b são constantes a determinar.

Passo 4

Vamos analisar essa equação. A igualdade deve ser válida para qualquer valor de x . Vamos escolher valores específicos de x para facilitar a resolução. Vamos, por exemplo, escolher x = 0 :
a cdot e^0 + b cdot e^0 = a + b = 0
Isso nos dá a primeira equação: a + b = 0 .

Passo 5

Agora, vamos escolher outro valor de x , digamos x = L :
a cdot e^i m pi + b cdot e^-i n pi = a cdot (-1)^m + b cdot (-1)^n = 0
Isso nos dá a segunda equação: a cdot (-1)^m + b cdot (-1)^n = 0 .

Passo 6

Agora temos um sistema de duas equações:
  1. a + b = 0
  2. a cdot (-1)^m + b cdot (-1)^n = 0
Sabemos que m neq n . Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, podemos expressar b em termos de a : b = -a .
Substituindo na segunda equação:
a cdot (-1)^m + (-a) cdot (-1)^n = 0
a [ (-1)^m - (-1)^n ] = 0

Passo 7

Para que essa equação seja verdadeira, ou a = 0 ou (-1)^m - (-1)^n = 0 .
Mas como m neq n , (-1)^m e (-1)^n não serão iguais se m e n tiverem paridades diferentes. Mesmo que tenham a mesma paridade, a condição m neq n nos leva a a = 0 .
Se a = 0 , então da primeira equação b = 0 .

Resposta

Portanto, as funções e^i m pi xL e e^-i n pi xL são linearmente independentes quando m neq n .

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