Considere o conjunto de funções:
Mostre que
e
são L.I., se
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão que você me enviou pede para mostrar que as funções
e
são linearmente independentes (LI) quando
. Isso está relacionado ao estudo de independência linear em funções, que é um conceito importante em álgebra linear e análise funcional. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades de funções exponenciais e entender o que significa duas funções serem lineares independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa duas funções serem linearmente independentes. Duas funções
e
são LI se a única combinação linear que iguala a zero para todos os valores de
é quando os coeficientes dessa combinação são zero. Em outras palavras, se
para todo
, então necessariamente
e
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso às funções que temos:
e
. Queremos mostrar que se combinarmos essas duas funções de forma linear e igualarmos a zero, os coeficientes dessa combinação devem ser zero.
Então, suponha que exista uma combinação linear:
para todo
, onde
e
são constantes a determinar.
Passo 4
Vamos analisar essa equação. A igualdade deve ser válida para qualquer valor de
. Vamos escolher valores específicos de
para facilitar a resolução. Vamos, por exemplo, escolher
:
Isso nos dá a primeira equação:
.
Passo 5
Agora, vamos escolher outro valor de
, digamos
:
Isso nos dá a segunda equação:
.
Passo 6
Agora temos um sistema de duas equações:
Sabemos que
. Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, podemos expressar
em termos de
:
.
Substituindo na segunda equação:
Passo 7
Para que essa equação seja verdadeira, ou
ou
.
Mas como
,
e
não serão iguais se
e
tiverem paridades diferentes. Mesmo que tenham a mesma paridade, a condição
nos leva a
.
Se
, então da primeira equação
.
Resposta
Portanto, as funções
e
são linearmente independentes quando
.