Mostre que
é a única raiz da função
no intervalo (3,4). Use o método de Newton-Raphson e o método da secante para calcular o valor de
com precisões
. Ao longo das iterações analise as convergências.
Passo 1
Então, galera, o desafio aqui é mostrar que π é a única solução da função
no intervalo entre 3 e 4. Depois disso, vamos usar dois métodos de resolução numérica, o Newton-Raphson e a secante, para calcular o valor de π com uma precisão bem precisa de
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções trigonométricas e esses métodos de iteração que ajudam a encontrar raízes de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que π é a única raiz de
no intervalo (3,4). Sabemos que
quando
é múltiplo de π, ou seja,
onde
é um número inteiro. No intervalo de 3 a 4, o único múltiplo de π que cai lá é π mesmo, já que
. Portanto, π é a única raiz de
nesse intervalo.
Passo 3
Agora, vamos usar o método de Newton-Raphson para encontrar π. Esse método é uma técnica iterativa que aprimora uma estimativa inicial para encontrar a raiz de uma função. A fórmula do método é:
Para nossa função
, a derivada é
. Vamos começar com uma estimativa inicial, digamos
.
Passo 4
Vamos aplicar a fórmula do Newton-Raphson:
- Iteração 1:
- Iteração 2:
Continuamos esse processo até que a diferença entre as iterações seja menor que
. Geralmente, em poucas iterações, já alcançamos a precisão desejada.
Passo 5
Agora, vamos usar o método da secante, que é semelhante ao Newton-Raphson, mas não requer o cálculo da derivada. A fórmula é:
Vamos escolher duas estimativas iniciais, por exemplo,
e
.
- Iteração 1:
- Iteração 2:
Seguindo esse processo, também alcançamos a precisão de
rapidamente.
Passo 6
Durante as iterações de ambos os métodos, percebemos que as estimativas estão se aproximando cada vez mais de π, indicando uma convergência estável e eficiente dos métodos para encontrar a raiz da função
no intervalo considerado.
Resposta
Utilizando os métodos de Newton-Raphson e da secante, o valor de π foi calculado com precisão de
, obtendo-se
.