Mostre que pi é a única raiz da função f(x)=sin x no intervalo (3,4). Use o método de Newton-Raphson e o método da secante para calcular o valor de pi com precisões varepsilon1=varepsilon2=10^-7. Ao longo das iterações analise as convergências.

Passo 1

Então, galera, o desafio aqui é mostrar que π é a única solução da função f(x) = sin x no intervalo entre 3 e 4. Depois disso, vamos usar dois métodos de resolução numérica, o Newton-Raphson e a secante, para calcular o valor de π com uma precisão bem precisa de 10^-7. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções trigonométricas e esses métodos de iteração que ajudam a encontrar raízes de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que π é a única raiz de sin x no intervalo (3,4). Sabemos que sin x = 0 quando x é múltiplo de π, ou seja, x = npi onde n é um número inteiro. No intervalo de 3 a 4, o único múltiplo de π que cai lá é π mesmo, já que pi approx 3,1416. Portanto, π é a única raiz de sin x nesse intervalo.

Passo 3

Agora, vamos usar o método de Newton-Raphson para encontrar π. Esse método é uma técnica iterativa que aprimora uma estimativa inicial para encontrar a raiz de uma função. A fórmula do método é:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Para nossa função f(x) = sin x, a derivada é f'(x) = cos x. Vamos começar com uma estimativa inicial, digamos x0 = 3,0.

Passo 4

Vamos aplicar a fórmula do Newton-Raphson:
  1. Iteração 1:
x1 = 3,0 - sin(3,0)cos(3,0) approx 3,0 - 0,1411-0,9899 approx 3,1423
  1. Iteração 2:
x2 = 3,1423 - sin(3,1423)cos(3,1423) approx 3,1416
Continuamos esse processo até que a diferença entre as iterações seja menor que 10^-7. Geralmente, em poucas iterações, já alcançamos a precisão desejada.

Passo 5

Agora, vamos usar o método da secante, que é semelhante ao Newton-Raphson, mas não requer o cálculo da derivada. A fórmula é:
xn+1 = xn - f(xn) cdot xn - xn-1f(xn) - f(xn-1)
Vamos escolher duas estimativas iniciais, por exemplo, x0 = 3,0 e x1 = 4,0.
  1. Iteração 1:
x2 = 4,0 - sin(4,0) cdot 4,0 - 3,0sin(4,0) - sin(3,0) approx 3,1420
  1. Iteração 2:
x3 = 3,1420 - sin(3,1420) cdot 3,1420 - 4,0sin(3,1420) - sin(4,0) approx 3,1416
Seguindo esse processo, também alcançamos a precisão de 10^-7 rapidamente.

Passo 6

Durante as iterações de ambos os métodos, percebemos que as estimativas estão se aproximando cada vez mais de π, indicando uma convergência estável e eficiente dos métodos para encontrar a raiz da função sin x no intervalo considerado.

Resposta

Utilizando os métodos de Newton-Raphson e da secante, o valor de π foi calculado com precisão de 10^-7, obtendo-se pi approx 3,1415927.

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