Determine um intervalo que contenha uma única raiz do polinômio f(x)= x^3-x+3. Mostre que varphi(x)=raiz[3]x-3 pode ser usada como função auxiliar em um método de ponto fixo e use-a para calcular essa raiz, com precisões varepsilon1=varepsilon2=10^-4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um intervalo que contenha uma única raiz do polinômio f(x) = x^3 - x + 3 . Depois, vamos mostrar que a função auxiliar varphi(x) = raiz[3]x - 3 pode ser usada num método de ponto fixo para achar essa raiz com precisão de varepsilon1 = varepsilon2 = 10^-4 .
Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre polinômios, métodos de raiz e especificamente o método do ponto fixo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar um intervalo que contenha uma única raiz do polinômio f(x) = x^3 - x + 3 . Para isso, podemos usar o Teorema de Bolzano, que diz que se f é contínua em um intervalo [a, b] e f(a) e f(b) tiverem sinais opostos, então existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Vamos calcular f(x) em alguns pontos:
  • Para x = -2 :
f(-2) = (-2)^3 - (-2) + 3 = -8 + 2 + 3 = -3
  • Para x = 0 :
f(0) = 0^3 - 0 + 3 = 3
Vemos que f(-2) = -3 e f(0) = 3 . Como os sinais são opostos, pelo Teorema de Bolzano, sabemos que existe pelo menos uma raiz entre -2 e 0 .

Passo 3

Agora, vamos mostrar que varphi(x) = raiz[3]x - 3 pode ser usada como uma função auxiliar no método de ponto fixo. O método de ponto fixo consiste em reescrever a equação f(x) = 0 na forma x = varphi(x) e iterar para encontrar a raiz.
Nossa equação original é:
x^3 - x + 3 = 0
Rearranjando para isolar x :
x^3 = x - 3 implies x = raiz[3]x - 3
Então, a função auxiliar é:
varphi(x) = raiz[3]x - 3
Para que o método de ponto fixo funcione, varphi(x) precisa satisfazer certas condições de convergência, como ser contínua no intervalo escolhido e ter a derivada menor que 1 em valor absoluto nesse intervalo.

Passo 4

Vamos verificar a condição de convergência. Calculamos a derivada de varphi(x) :
varphi'(x) = ddx raiz[3]x - 3 = 13(x - 3)^-2/3
Queremos que |varphi'(x)| < 1 no intervalo [-2, 0]. Vamos testar alguns pontos:
  • Para x = -2 :
varphi'(-2) = 13(-2 - 3)^-2/3 = 13(-5)^-2/3 = 13 cdot 15^2/3 < 1
  • Para x = 0 :
varphi'(0) = 13(0 - 3)^-2/3 = 13(-3)^-2/3 = 13 cdot 13^2/3 < 1
Como |varphi'(x)| < 1 em todo o intervalo [-2, 0], a condição de convergência está satisfeita.

Passo 5

Agora, vamos aplicar o método de ponto fixo usando varphi(x) = raiz[3]x - 3 para encontrar a raiz com a precisão desejada varepsilon = 10^-4 .
Escolhemos um valor inicial dentro do intervalo [-2, 0]. Vamos começar com x0 = 0 .
Aplicamos a fórmula de iteração:
xn+1 = varphi(xn) = raiz[3]xn - 3
Vamos calcular as iterações até que a diferença entre duas iterações consecutivas seja menor que 10^-4 .
Iteração 1:
x1 = raiz[3]0 - 3 = raiz[3]-3 approx -1.4422
Iteração 2:
x2 = raiz[3]-1.4422 - 3 = raiz[3]-4.4422 approx -1.6453
Iteração 3:
x3 = raiz[3]-1.6453 - 3 = raiz[3]-4.6453 approx -1.6687
Iteração 4:
x4 = raiz[3]-1.6687 - 3 = raiz[3]-4.6687 approx -1.6784
Iteração 5:
x5 = raiz[3]-1.6784 - 3 = raiz[3]-4.6784 approx -1.6801
Verificando a precisão:
|x5 - x4| = |-1.6801 - (-1.6784)| = 0.0017 < 10^-4 (Ainda não atingiu) ã
Continuemos até atingir a precisão desejada.
Iteração 6:
x6 = raiz[3]-1.6801 - 3 = raiz[3]-4.6801 approx -1.6806
Verificando a precisão:
|x6 - x5| = |-1.6806 - (-1.6801)| = 0.0005 < 10^-4 (Ainda não atingiu) ã
Iteração 7:
x7 = raiz[3]-1.6806 - 3 = raiz[3]-4.6806 approx -1.6807
Verificando a precisão:
|x7 - x6| = |-1.6807 - (-1.6806)| = 0.0001 approx 10^-4

Resposta

A raiz do polinômio f(x) = x^3 - x + 3 no intervalo [-2, 0] é aproximadamente x approx -1.6807 , encontrada usando o método de ponto fixo com a função auxiliar varphi(x) = raiz[3]x - 3 e precisão de 10^-4 .

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