Determine um intervalo que contenha uma única raiz do polinômio
. Mostre que
pode ser usada como função auxiliar em um método de ponto fixo e use-a para calcular essa raiz, com precisões
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um intervalo que contenha uma única raiz do polinômio
. Depois, vamos mostrar que a função auxiliar
pode ser usada num método de ponto fixo para achar essa raiz com precisão de
.
Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre polinômios, métodos de raiz e especificamente o método do ponto fixo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar um intervalo que contenha uma única raiz do polinômio
. Para isso, podemos usar o Teorema de Bolzano, que diz que se
é contínua em um intervalo
e
e
tiverem sinais opostos, então existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Vamos calcular
em alguns pontos:
- Para
:
- Para
:
Vemos que
e
. Como os sinais são opostos, pelo Teorema de Bolzano, sabemos que existe pelo menos uma raiz entre
e
.
Passo 3
Agora, vamos mostrar que
pode ser usada como uma função auxiliar no método de ponto fixo. O método de ponto fixo consiste em reescrever a equação
na forma
e iterar para encontrar a raiz.
Nossa equação original é:
Rearranjando para isolar
:
Então, a função auxiliar é:
Para que o método de ponto fixo funcione,
precisa satisfazer certas condições de convergência, como ser contínua no intervalo escolhido e ter a derivada menor que 1 em valor absoluto nesse intervalo.
Passo 4
Vamos verificar a condição de convergência. Calculamos a derivada de
:
Queremos que
no intervalo
. Vamos testar alguns pontos:
- Para
:
- Para
:
Como
em todo o intervalo
, a condição de convergência está satisfeita.
Passo 5
Agora, vamos aplicar o método de ponto fixo usando
para encontrar a raiz com a precisão desejada
.
Escolhemos um valor inicial dentro do intervalo
. Vamos começar com
.
Aplicamos a fórmula de iteração:
Vamos calcular as iterações até que a diferença entre duas iterações consecutivas seja menor que
.
Iteração 1:
Iteração 2:
Iteração 3:
Iteração 4:
Iteração 5:
Verificando a precisão:
Continuemos até atingir a precisão desejada.
Iteração 6:
Verificando a precisão:
Iteração 7:
Verificando a precisão:
Resposta
A raiz do polinômio
no intervalo
é aproximadamente
, encontrada usando o método de ponto fixo com a função auxiliar
e precisão de
.