Considere o conjunto de funções:
onde
.
Mostre que sen
e sen
são L.I., se
.
Mostre que sen
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um conjunto de funções que inclui funções seno e cosseno com diferentes múltiplos de
. A questão pede para mostrar que
e
são linearmente independentes quando
. Vamos precisar entender o que é dependência linear e como verificar se essas funções são independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa funções serem linearmente independentes. Basicamente, um conjunto de funções é linearmente independente se nenhuma função pode ser escrita como uma combinação linear das outras. No nosso caso, queremos mostrar que não existe constantes
e
, não ambas nulas, tais que:
para todo
.
Passo 3
Então, para provar que
e
são lineares independentes, vamos assumir que essa combinação linear é igual a zero e mostrar que isso implica que
e
devem ser zero.
Passo 4
Vamos escrever a equação novamente:
Essa equação deve ser verdadeira para todo
. Isso significa que a combinação de duas funções seno diferentes está sempre zero.
Passo 5
Agora, vamos usar uma propriedade importante das funções trigonométricas: diferentes funções seno com diferentes múltiplos de
são ortogonais no intervalo
. A ortogonalidade implica que o produto interno delas é zero, ou seja:
Passo 6
Vamos aproveitar essa propriedade para encontrar os coeficientes
e
. Multiplicando ambos os lados da equação original por
e integrando de
a
:
Devido à ortogonalidade, o segundo termo é zero. E sabemos que:
Então, a equação fica:
Passo 7
Da mesma forma, multiplicando a equação original por
e integrando, obtemos:
Passo 8
As duas equações resultantes são:
Como
é diferente de zero, isso implica que
e
.
Resposta
Portanto, mostramos que a única solução para a combinação linear ser zero é
e
, o que significa que
e
são linearmente independentes quando
.