Considere o conjunto de funções:
F=1, cos (pi xL), cos (2 pi xL), ldots cos (m pi xL), ldots, sen(pi xL), sen(2 pi xL), ldots sen(m pi xL), ldots
onde L in R+^*.
Mostre que sen (m pi xL) e sen (n pi xL) são L.I., se m neq n.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um conjunto de funções que inclui funções seno e cosseno com diferentes múltiplos de pi xL . A questão pede para mostrar que sin(m pi xL) e sin(n pi xL) são linearmente independentes quando m neq n . Vamos precisar entender o que é dependência linear e como verificar se essas funções são independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa funções serem linearmente independentes. Basicamente, um conjunto de funções é linearmente independente se nenhuma função pode ser escrita como uma combinação linear das outras. No nosso caso, queremos mostrar que não existe constantes a e b , não ambas nulas, tais que:
a sin(m pi xL) + b sin(n pi xL) = 0
para todo x .

Passo 3

Então, para provar que sin(m pi xL) e sin(n pi xL) são lineares independentes, vamos assumir que essa combinação linear é igual a zero e mostrar que isso implica que a e b devem ser zero.

Passo 4

Vamos escrever a equação novamente:
a sin(m pi xL) + b sin(n pi xL) = 0
Essa equação deve ser verdadeira para todo x . Isso significa que a combinação de duas funções seno diferentes está sempre zero.

Passo 5

Agora, vamos usar uma propriedade importante das funções trigonométricas: diferentes funções seno com diferentes múltiplos de pi xL são ortogonais no intervalo [0, L] . A ortogonalidade implica que o produto interno delas é zero, ou seja:
integral0^L sin(m pi xL) sin(n pi xL) dx = 0 quando m neq n

Passo 6

Vamos aproveitar essa propriedade para encontrar os coeficientes a e b . Multiplicando ambos os lados da equação original por sin(m pi xL) e integrando de 0 a L :
a integral0^L sin^2(m pi xL) dx + b integral0^L sin(m pi xL) sin(n pi xL) dx = 0
Devido à ortogonalidade, o segundo termo é zero. E sabemos que:
integral0^L sin^2(m pi xL) dx = L2
Então, a equação fica:
a cdot L2 = 0

Passo 7

Da mesma forma, multiplicando a equação original por sin(n pi xL) e integrando, obtemos:
b cdot L2 = 0

Passo 8

As duas equações resultantes são:
a cdot L2 = 0 e b cdot L2 = 0
Como L é diferente de zero, isso implica que a = 0 e b = 0 .

Resposta

Portanto, mostramos que a única solução para a combinação linear ser zero é a = 0 e b = 0 , o que significa que sin(m pi xL) e sin(n pi xL) são linearmente independentes quando m neq n .

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