Considere o conjunto de funções:
F=1, cos (pi xL), cos (2 pi xL), ldots cos (m pi xL), ldots, sen(pi xL), sen(2 pi xL), ldots sen(m pi xL), ldots
onde L in R+^*.
Mostre que o conjunto F é ortogonal no intervalo -L <= x <= L, ou seja,

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto
F=,1,;cosl(tfracpi xLr),;cosl(tfrac2pi xLr),dots,cosl(tfracmpi xLr),dots,sinl(tfracpi xLr),;sinl(tfrac2pi xLr),dots,sinl(tfracmpi xLr),dots
e pede para mostrar que ele é ortogonal em -L<= x<= L.
Isto significa provar que, para quaisquer funções distintas f,gin F,
integral-L^Lf(x),g(x),dx=0
Vamos usar identidades trigonométricas de produto e paridade (funções pares e ímpares) para calcular esses produtos escalares.

Passo 2

Mostramos primeiro a ortogonalidade entre dois cossenos com índices diferentes. Considere
I=integral-L^Lcosl(tfracmpi xLr),cosl(tfracnpi xLr),dx,
com mneq n. Usando
cos Acos B=tfrac12l[cos(A-B)+cos(A+B)r],
temos
I=tfrac12integral-L^Lcos!l(tfrac(m-n)pi xLr),dx +tfrac12integral-L^Lcos!l(tfrac(m+n)pi xLr),dx
Cada termo é da forma integral-L^Lcos(kpi x/L),dx com kneq0, e como cos é par, isso vale
2integral0^Lcos!l(tfrackpi xLr),dx =2Lkpil[sin!l(kpi x/Lr)r]0^L =2Lkpil(sin kpi-0r)=0
Logo I=0.

Passo 3

Agora a ortogonalidade entre dois senos com índices diferentes. Seja
J=integral-L^Lsinl(tfracmpi xLr),sinl(tfracnpi xLr),dx,
com mneq n. Usamos
sin Asin B=tfrac12l[cos(A-B)-cos(A+B)r]
e repetimos o mesmo argumento do passo anterior: cada integral de cos(kpi x/L) com kneq0 sobre [-L,L] é zero. Assim J=0.

Passo 4

Verificamos a ortogonalidade entre seno e cosseno. Considere
K=integral-L^Lsinl(tfracmpi xLr),cosl(tfracnpi xLr),dx
Usamos
sin Acos B=tfrac12l[sin(A+B)+sin(A-B)r]
Como sin é ímpar, cada integral integral-L^Lsin(kpi x/L),dx anula-se por simetria do intervalo, e portanto K=0.

Passo 5

Finalmente, mostramos a ortogonalidade da função constante 1 com cada seno ou cosseno não– constante. Para m>=1:
integral-L^L1cdotcosl(tfracmpi xLr),dx =l[tfracLmpisin!l(tfracmpi xLr)r]-L^L =tfracLmpi(sin mpi-sin(-mpi))=0,
pois sin mpi=0. E
integral-L^L1cdotsinl(tfracmpi xLr),dx=0
porque sinl(tfracmpi xLr) é ímpar.

Resposta

O conjunto F é ortogonal em [-L,L] porque, para quaisquer funções distintas f,gin F,
integral-L^Lf(x),g(x),dx=0

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