Considere o conjunto de funções:
onde
.
Mostre que o conjunto
é ortogonal no intervalo
, ou seja,
Mostre que o conjunto
Passo 1
O enunciado nos dá o conjunto
e pede para mostrar que ele é ortogonal em
.
Isto significa provar que, para quaisquer funções distintas ,
Isto significa provar que, para quaisquer funções distintas
Vamos usar identidades trigonométricas de produto e paridade (funções pares e ímpares) para calcular esses produtos escalares.
Passo 2
Mostramos primeiro a ortogonalidade entre dois cossenos com índices diferentes. Considere
com
. Usando
temos
Cada termo é da forma
com
, e como
é par, isso vale
Logo
.
Passo 3
Agora a ortogonalidade entre dois senos com índices diferentes. Seja
com
. Usamos
e repetimos o mesmo argumento do passo anterior: cada integral de
com
sobre
é zero. Assim
.
Passo 4
Verificamos a ortogonalidade entre seno e cosseno. Considere
Usamos
Como
é ímpar, cada integral
anula-se por simetria do intervalo, e portanto
.
Passo 5
Finalmente, mostramos a ortogonalidade da função constante
com cada seno ou cosseno não– constante. Para
:
pois
. E
porque
é ímpar.
Resposta
O conjunto
é ortogonal em
porque, para quaisquer funções distintas
,