Considere o conjunto A=\left\{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \ldots\right\}. Determine:
a) Supremo do conjunto A;
b) Ínfimo do conjunto A.

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto
A = \left\{1,\;\frac{1}{2},\;\frac{1}{3},\;\frac{1}{4},\;\frac{1}{5},\;\ldots\right\}
e pede o supremo (menor cota superior) e o ínfimo (maior cota inferior) de A. Para isso, vamos identificar as cotas superiores e inferiores e depois mostrar que são as “menores” e “maiores” possíveis, respectivamente.

Passo 2

Para o supremo, primeiro encontramos uma cota superior. Note que, para todo n\in\mathbb{N},
\frac{1}{n}\le 1,
com igualdade em n=1. Logo, 1 é uma cota superior de A. Além disso, não existe cota superior menor que 1, pois 1\in A força que qualquer cota superior u satisfaça u\ge1. Portanto, o menor de todos os cotas superiores é
\sup A = 1.

Passo 3

Para o ínfimo, primeiro vemos que todas as frações são positivas, ou seja, para todo n\in\mathbb{N},
\frac{1}{n}>0.
Então 0 é uma cota inferior de A. Para mostrar que é a maior cota inferior, suponha que exista \delta>0 que também seja cota inferior. Então deveríamos ter
\frac{1}{n}\ge \delta \quad\forall n,
mas, escolhendo N>\frac{1}{\delta}, fica \frac{1}{N}<\delta, contradição. Portanto, não há cota inferior maior que 0, e
\inf A = 0.

Resposta

a) \sup A = 1
b) \inf A = 0

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