Considere o conjunto
. Determine:
a) Supremo do conjunto
;
b) Ínfimo do conjunto
.
a) Supremo do conjunto
b) Ínfimo do conjunto
Passo 1
O enunciado nos dá o conjunto
e pede o supremo (menor cota superior) e o ínfimo (maior cota inferior) de
. Para isso, vamos identificar as cotas superiores e inferiores e depois mostrar que são as “menores” e “maiores” possíveis, respectivamente.
Passo 2
Para o supremo, primeiro encontramos uma cota superior. Note que, para todo
,
com igualdade em
. Logo,
é uma cota superior de
. Além disso, não existe cota superior menor que
, pois
força que qualquer cota superior
satisfaça
. Portanto, o menor de todos os cotas superiores é
Passo 3
Para o ínfimo, primeiro vemos que todas as frações são positivas, ou seja, para todo
,
Então
é uma cota inferior de
. Para mostrar que é a maior cota inferior, suponha que exista
que também seja cota inferior. Então deveríamos ter
mas, escolhendo
, fica
, contradição. Portanto, não há cota inferior maior que
, e
Resposta
a)
b)
b)