1. Considere A=\left\{x \in \mathbb{Q}: x^{2}<2\right\} e \alpha:=\sup A.
    (a) Justifique por que existe o número \alpha:=\sup A \in \mathbb{R}.
    (b) Mostre que o supremo de A não é racional, i.e., \alpha \notin \mathbb{Q}.
    (c) Mostre que \alpha é o único número real positivo que é solução da equação x^{2}=2, ou seja, \alpha=\sqrt{2}.

Passo 1

O enunciado define
A = \{\,x\in\mathbb{Q} : x^2<2\}
e \alpha := \sup A.
O que precisamos usar é a propriedade de completude de \mathbb{R} (todo subconjunto não vazio e limitado de \mathbb{R} tem supremo em \mathbb{R}), além da densidade dos racionais e do argumento clássico de que \sqrt{2} é irracional.

Passo 2

Mostramos que A é não vazio e limitado superiormente, então \alpha existe em \mathbb{R}.
  1. 0\in A pois 0^2=0<2, logo A\neq\varnothing.
  2. Se x\in A então x^2<2 implica |x|<\sqrt{2}<2, ou seja, todo x\in A satisfaz x<2. Assim 2 é cota superior de A.
    Pela completude de \mathbb{R}, \alpha=\sup A\in\mathbb{R} existe.

Passo 3

Mostramos que \alpha^2=2.
  1. Suponha \alpha^2<2. Então existe \delta>0 tal que
(\alpha+\delta)^2 < 2.
Pela densidade de \mathbb{Q} em \mathbb{R}, escolhemos q\in\mathbb{Q} com
\alpha < q < \alpha+\delta.
Então q^2 < (\alpha+\delta)^2 <2, isto é, q\in A e q>\alpha. Contradição com \alpha=\sup A.
2. Suponha \alpha^2>2. Então existe \varepsilon>0 tal que
(\alpha-\varepsilon)^2 > 2.
Por definição de supremo, para TODO \eta>0 existe x\in A com \alpha-\eta < x\le\alpha. Em particular, escolha \eta=\varepsilon: haveria x\in A com x>\alpha-\varepsilon, mas isso implica
x^2 > (\alpha-\varepsilon)^2 >2,
ou seja x\notin A. Contradição de novo.
Logo \alpha^2 não pode ser menor nem maior que 2; segue \alpha^2=2.

Passo 4

(b) Para ver que \alpha\notin\mathbb{Q}, suponha, por absurdo, que \alpha=p/q com p,q\in\mathbb{Z} coprimos e q>0. Daí
\alpha^2=2 \quad\Longrightarrow\quad \frac{p^2}{q^2}=2 \quad\Longrightarrow\quad p^2=2q^2.
Isso implica que p é par, digamos p=2k, e então 4k^2=2q^2 leva a q^2=2k^2, isto é, q também é par. Mas p e q não podem ter fator 2 em comum, pois eram coprimos. Contradição. Portanto \alpha\notin\mathbb{Q}.

Passo 5

(c) Já vimos que \alpha^2=2 e \alpha>0. A equação
x^2=2
tem exatamente duas soluções reais, x=+\sqrt{2} e x=-\sqrt{2}. Como \alpha>0, concluímos \alpha=\sqrt{2}. Além disso, é claro que este é o único real positivo cujo quadrado vale 2.

Resposta

(a) Pela completude de \mathbb{R}, como A\neq\varnothing e é limitada superiormente, \alpha=\sup A\in\mathbb{R} existe.
(b) Se \alpha\in\mathbb{Q} e \alpha^2=2, chega-se à contradição clássica de que p e q teriam ambos fator 2. Logo \alpha\notin\mathbb{Q}.
(c) Como \alpha^2=2 e \alpha>0, segue \alpha=\sqrt{2}, a única solução real positiva de x^2=2.

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