- Considere
e
.
(a) Justifique por que existe o número
.
(b) Mostre que o supremo de
não é racional, i.e.,
.
(c) Mostre que
é o único número real positivo que é solução da equação
, ou seja,
.
(a) Justifique por que existe o número
(b) Mostre que o supremo de
(c) Mostre que
Passo 1
O enunciado define
e
.
O que precisamos usar é a propriedade de completude de (todo subconjunto não vazio e limitado de
tem supremo em
), além da densidade dos racionais e do argumento clássico de que
é irracional.
O que precisamos usar é a propriedade de completude de
Passo 2
Mostramos que
é não vazio e limitado superiormente, então
existe em
.
-
pois , logo . - Se
então implica , ou seja, todo satisfaz . Assim é cota superior de .
Pela completude de, existe.
Passo 3
Mostramos que
.
- Suponha
. Então existe tal que
Pela densidade de
em
, escolhemos
com
Então
, isto é,
e
. Contradição com
.
2. Suponha . Então existe
tal que
2. Suponha
Por definição de supremo, para TODO
existe
com
. Em particular, escolha
: haveria
com
, mas isso implica
ou seja
. Contradição de novo.
Logo não pode ser menor nem maior que
; segue
.
Logo
Passo 4
(b) Para ver que
, suponha, por absurdo, que
com
coprimos e
. Daí
Isso implica que
é par, digamos
, e então
leva a
, isto é,
também é par. Mas
e
não podem ter fator
em comum, pois eram coprimos. Contradição. Portanto
.
Passo 5
(c) Já vimos que
e
. A equação
tem exatamente duas soluções reais,
e
. Como
, concluímos
. Além disso, é claro que este é o único real positivo cujo quadrado vale
.
Resposta
(a) Pela completude de
, como
e é limitada superiormente,
existe.
(b) Se e
, chega-se à contradição clássica de que
e
teriam ambos fator
. Logo
.
(c) Como e
, segue
, a única solução real positiva de
.
(b) Se
(c) Como