Considere o conjunto E=\left\{\frac{1}{m}: m \in \mathbb{N}\right\}. Mostre que \sup E=1 e que \inf E=0.

Passo 1

O enunciado define o conjunto
E = \left\{\frac{1}{m} : m \in \mathbb{N}\right\}
e pede para mostrar que \sup E = 1 e \inf E = 0. O conteúdo principal é o de máximo, mínimo, supremo (menor cota superior) e ínfimo (maior cota inferior). Vamos usar a definição de cota superior/inferior e argumentos de existência de elementos que violam cotas mais fortes.

Passo 2

Mostramos que \sup E = 1.
Primeiro, 1 é cota superior de E porque, para todo m \in \mathbb{N},
\frac{1}{m} \le 1.
Agora, para ver que não há cota superior menor que 1, tomemos qualquer \alpha < 1. Como 1 = \frac{1}{1} \in E, temos
\frac{1}{1} = 1 > \alpha,
logo \alpha não é cota superior de E. Portanto, 1 é o menor limite superior, isto é, \sup E = 1.

Passo 3

Mostramos que \inf E = 0.
Primeiro, 0 é cota inferior de E porque, para todo m \in \mathbb{N},
\frac{1}{m} > 0.
Em seguida, para ver que não há cota inferior maior que 0, tomemos qualquer \beta > 0. Escolhendo m suficientemente grande, por exemplo um m tal que
m > \frac{1}{\beta},
obtém–se
\frac{1}{m} < \beta,
logo \beta não é cota inferior de E. Assim, 0 é o maior limite inferior, isto é, \inf E = 0.

Resposta

\sup E = 1 e \inf E = 0.

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