Considere o conjunto
. Mostre que
e que
.
Passo 1
O enunciado define o conjunto
e pede para mostrar que
e
. O conteúdo principal é o de máximo, mínimo, supremo (menor cota superior) e ínfimo (maior cota inferior). Vamos usar a definição de cota superior/inferior e argumentos de existência de elementos que violam cotas mais fortes.
Passo 2
Mostramos que
.
Primeiro, 1 é cota superior de porque, para todo
,
Primeiro, 1 é cota superior de
Agora, para ver que não há cota superior menor que 1, tomemos qualquer
. Como
, temos
logo
não é cota superior de
. Portanto, 1 é o menor limite superior, isto é,
.
Passo 3
Mostramos que
.
Primeiro, 0 é cota inferior de porque, para todo
,
Primeiro, 0 é cota inferior de
Em seguida, para ver que não há cota inferior maior que 0, tomemos qualquer
. Escolhendo
suficientemente grande, por exemplo um
tal que
obtém–se
logo
não é cota inferior de
. Assim, 0 é o maior limite inferior, isto é,
.