Seja \alpha=(E, D) um número real, defina seu oposto -\alpha, isto é, exprima como é o corte -\alpha.

Passo 1

O enunciado diz que \alpha=(E,D) é um número real dado por um corte de Dedekind em \mathbb{Q}. Precisamos definir o seu oposto aditivo, isto é, encontrar o corte que representa -\alpha. O conteúdo aqui é a teoria de cortes de Dedekind e a construção da soma inversa.

Passo 2

Lembrando a definição de corte de Dedekind:
  1. E e D são subconjuntos não vazios de \mathbb{Q} tais que E\cup D=\mathbb{Q} e E\cap D=\varnothing.
  2. E não tem máximo e é fechado para antecessores (se x\in E e y<x então y\in E).
  3. Todo elemento de E é menor que todo elemento de D.
Essas propriedades caracterizam o número real \alpha.

Passo 3

Para obter -\alpha basta “trocar o sinal” de cada racional e inverter as partes E e D. Definimos
-\,E \;=\;\{\, -e\in\mathbb{Q}\mid e\in E\}\,,\qquad -\,D \;=\;\{\, -d\in\mathbb{Q}\mid d\in D\}\,.

Passo 4

O corte \bigl(-D,\,-E\bigr) satisfaz as três propriedades de Dedekind:
  • A união (-D)\cup(-E) é \mathbb{Q} e a intersecção é vazia.
  • -D não tem máximo e é fechado para antecessores.
  • Cada elemento de -D é menor que cada elemento de -E.
Logo esse corte representa exatamente o número -\alpha.

Resposta

-\alpha \;=\;\bigl(-D,\,-E\bigr),
onde
-\,D = \{ -d \mid d\in D\}, \qquad -\,E = \{ -e \mid e\in E\}.

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