Seja
um número real, defina seu oposto
, isto é, exprima como é o corte
.
Passo 1
O enunciado diz que
é um número real dado por um corte de Dedekind em
. Precisamos definir o seu oposto aditivo, isto é, encontrar o corte que representa
. O conteúdo aqui é a teoria de cortes de Dedekind e a construção da soma inversa.
Passo 2
Lembrando a definição de corte de Dedekind:
-
e são subconjuntos não vazios de tais que e . -
não tem máximo e é fechado para antecessores (se e então ). - Todo elemento de
é menor que todo elemento de .
Essas propriedades caracterizam o número real
.
Passo 3
Para obter
basta “trocar o sinal” de cada racional e inverter as partes
e
. Definimos
Passo 4
O corte
satisfaz as três propriedades de Dedekind:
- A união
é e a intersecção é vazia. -
não tem máximo e é fechado para antecessores. - Cada elemento de
é menor que cada elemento de .
Logo esse corte representa exatamente o número
.
Resposta
onde