Sejam \alpha_{1}=\left(E_{1}, D_{1}\right), \alpha_{2}=\left(E_{2}, D_{2}\right), \ldots, \alpha_{k}=\left(E_{k}, D_{k}\right) números reais. Determine o número real \beta:=\max \left\{\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{k}\right\}.

Passo 1

O enunciado nos dá k números reais
\alpha_{i}=\frac{E_{i}}{D_{i}}\,,\quad i=1,2,\dots,k,
com D_{i}\neq 0. Queremos encontrar
\beta \;:=\;\max\{\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{k}\}.
O conteúdo aqui é a comparação de frações (números reais expressos como quocientes) e a determinação do máximo entre k elementos.

Passo 2

Primeiro, lembrar o critério de comparação de duas frações com denominadores não nulos e positivos: para i\neq j,
\frac{E_{i}}{D_{i}}\le\frac{E_{j}}{D_{j}} \quad\Longleftrightarrow\quad E_{i}D_{j}\le E_{j}D_{i},
desde que D_{i} e D_{j} tenham o mesmo sinal. (Se um deles for negativo, basta multiplicar numerador e denominador por -1 para trazer o denominador a positivo e usar o mesmo critério.)

Passo 3

Para achar o máximo entre k frações, basta escolher o índice j tal que
E_{j}D_{i}\;\ge\;E_{i}D_{j} \quad\text{para todo }i=1,2,\dots,k.
Isto garante que
\frac{E_{j}}{D_{j}}\ge\frac{E_{i}}{D_{i}} \quad\forall\,i,
logo \alpha_{j} é o maior dos \alpha_{1},\dots,\alpha_{k}.

Resposta

Sejam
J = \bigl\{\,j\in\{1,\dots,k\}\mid E_{j}D_{i}\ge E_{i}D_{j}\;\forall\,i\}
e escolha qualquer j\in J. Então
\beta = \frac{E_{j}}{D_{j}}.

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