Considere o conjunto
Mostre que
é um espaço vetorial e descreva seus elementos.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
O que o problema pede:
- Mostrar que
é um espaço vetorial (ou seja, que com as operações usuais herdadas de ele satisfaz as propriedades necessárias). - Descrever explicitamente os elementos de
(uma forma paramétrica ou uma base/geradores).
Informações relevantes dadas:
- Os elementos são pares
de números reais que satisfazem a equação linear .
Passo 2
Ideia e critério prático que usaremos (explicação didática): como
já é um espaço vetorial com as operações usuais (adição componente a componente e multiplicação por escalar), para mostrar que um subconjunto
é também um espaço vetorial basta mostrar que
é um subespaço linear. Um teste simples e suficiente para isso é verificar três coisas:
-
não é vazio (contém o vetor zero). -
é fechado sob adição: se então . -
é fechado sob multiplicação por escalar: se e então .
Se esses três itens valem, então todas as outras propriedades de espaço vetorial seguem porque são herdadas de
. Vou checar cada um detalhadamente.
Passo 3
Verificação de que
não é vazio (contendo o vetor zero): o vetor zero em
é
. Calcula-se
logo
satisfaz
, portanto
. Conclusão:
.
Passo 4
Fechamento por adição (detalhado e com contas): pegue dois vetores quaisquer em
. Como estão em
, existem
tais que
porque em cada caso vale
(isto é exatamente a condição
). Agora some
e
componente a componente:
Verifique a condição definidora:
Portanto
também satisfaz a equação
, ou seja
. Assim
é fechado sob adição.
Passo 5
Fechamento por multiplicação por escalar (detalhado): pegue
e um escalar
. Multiplicando por
componente a componente:
Verificamos
logo
. Assim
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 6
Conclusão sobre ser espaço vetorial: como
contém o vetor zero e é fechado sob adição e multiplicação por escalar, segue que
é um subespaço linear de
. Consequentemente, com as operações herdadas de
,
é um espaço vetorial sobre
.
Passo 7
Descrição explícita dos elementos (parametrização e base): a condição
pode ser escrita como
. Portanto um elemento genérico de
tem a forma
Introduzindo um parâmetro
escrevemos mais convenientemente
Em forma de combinação linear,
Isto mostra que todo vetor de
é múltiplo escalar de
. Assim
Portanto
é uma reta que passa pela origem em
(geometricamente, a reta de inclinação
) e tem dimensão
. A base natural é
.
Passo 8
Exemplos concretos e verificação rápida para fixar a ideia:
- Para
temos porque . - Para
temos porque . - O zero corresponde a
: .
Resposta
Os elementos de