Considere o conjunto
V=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x+y=0\right\} .
Mostre que V é um espaço vetorial e descreva seus elementos.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
V=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x+y=0\right\}.
O que o problema pede:
  • Mostrar que V é um espaço vetorial (ou seja, que com as operações usuais herdadas de \mathbb{R}^2 ele satisfaz as propriedades necessárias).
  • Descrever explicitamente os elementos de V (uma forma paramétrica ou uma base/geradores).
Informações relevantes dadas:
  • Os elementos são pares (x,y) de números reais que satisfazem a equação linear x+y=0.

Passo 2

Ideia e critério prático que usaremos (explicação didática): como \mathbb{R}^2 já é um espaço vetorial com as operações usuais (adição componente a componente e multiplicação por escalar), para mostrar que um subconjunto V\subseteq\mathbb{R}^2 é também um espaço vetorial basta mostrar que V é um subespaço linear. Um teste simples e suficiente para isso é verificar três coisas:
  1. V não é vazio (contém o vetor zero).
  2. V é fechado sob adição: se u,v\in V então u+v\in V.
  3. V é fechado sob multiplicação por escalar: se u\in V e c\in\mathbb{R} então c\,u\in V.
Se esses três itens valem, então todas as outras propriedades de espaço vetorial seguem porque são herdadas de \mathbb{R}^2. Vou checar cada um detalhadamente.

Passo 3

Verificação de que V não é vazio (contendo o vetor zero): o vetor zero em \mathbb{R}^2 é (0,0). Calcula-se
0+0=0,
logo (0,0) satisfaz x+y=0, portanto (0,0)\in V. Conclusão: V\neq\varnothing.

Passo 4

Fechamento por adição (detalhado e com contas): pegue dois vetores quaisquer em V. Como estão em V, existem x_1,x_2\in\mathbb{R} tais que
u=(x_1,y_1)=(x_1,-x_1)\quad\text{e}\quad v=(x_2,y_2)=(x_2,-x_2),
porque em cada caso vale y_i=-x_i (isto é exatamente a condição x_i+y_i=0). Agora some u e v componente a componente:
u+v=(x_1+x_2,\; -x_1 + (-x_2))=(x_1+x_2,\; -(x_1+x_2)).
Verifique a condição definidora:
(x_1+x_2)+\big(-(x_1+x_2)\big)=0.
Portanto u+v também satisfaz a equação x+y=0, ou seja u+v\in V. Assim V é fechado sob adição.

Passo 5

Fechamento por multiplicação por escalar (detalhado): pegue u=(x,-x)\in V e um escalar c\in\mathbb{R}. Multiplicando por c componente a componente:
c\,u=(c x,\; c(-x))=(c x,\; -c x).
Verificamos
(c x)+(-c x)=0,
logo c\,u\in V. Assim V é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 6

Conclusão sobre ser espaço vetorial: como V contém o vetor zero e é fechado sob adição e multiplicação por escalar, segue que V é um subespaço linear de \mathbb{R}^2. Consequentemente, com as operações herdadas de \mathbb{R}^2, V é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

Passo 7

Descrição explícita dos elementos (parametrização e base): a condição x+y=0 pode ser escrita como y=-x. Portanto um elemento genérico de V tem a forma
(x,y)=(x,-x),\qquad x\in\mathbb{R}.
Introduzindo um parâmetro t\in\mathbb{R} escrevemos mais convenientemente
(t,-t),\qquad t\in\mathbb{R}.
Em forma de combinação linear,
(t,-t)=t\,(1,-1).
Isto mostra que todo vetor de V é múltiplo escalar de (1,-1). Assim
V=\{t(1,-1)\mid t\in\mathbb{R}\}=\operatorname{span}\{(1,-1)\}.
Portanto V é uma reta que passa pela origem em \mathbb{R}^2 (geometricamente, a reta de inclinação -1) e tem dimensão 1. A base natural é \{(1,-1)\}.

Passo 8

Exemplos concretos e verificação rápida para fixar a ideia:
  • Para t=2 temos (2,-2)\in V porque 2+(-2)=0.
  • Para t=-\tfrac{1}{2} temos (-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2})\in V porque -\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}=0.
  • O zero corresponde a t=0: (0,0)=0\cdot(1,-1).

Resposta

V é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^2 (portanto é um espaço vetorial).
Os elementos de V são exatamente
\{(t,-t)\mid t\in\mathbb{R}\}=\operatorname{span}\{(1,-1)\}.

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