Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto W é um subespaço vetorial do espaço vetorial (V,+, \cdot).
V=M_{2}(\mathbb{R}), munido das operações usuais e W=\left\{\left(\begin{array}{cc}a & b \\\\ -a & 0\end{array}\right) ; a, b \in \mathbb{R}\right\}.

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial
V = M_{2}(\mathbb{R})
com as operações usuais de soma e multiplicação escalar, e o subconjunto
W = \Bigl\{\begin{pmatrix}a & b \\\\ -a & 0\end{pmatrix} ; a,b\in\mathbb{R}\Bigr\}.
Queremos verificar se W é subespaço de V. Segundo a definição, basta checar que
  1. o vetor zero de V pertence a W,
  2. W é fechado em relação à soma,
  3. W é fechado em relação à multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos que o zero de V, ou seja, a matriz
\begin{pmatrix}0 & 0 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix},
pertence a W pois basta escolher a=0 e b=0 para obter
\begin{pmatrix}0 & 0 \\\\ -0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix}.

Passo 3

Sejam
X=\begin{pmatrix}a_1 & b_1 \\\\ -a_1 & 0\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad Y=\begin{pmatrix}a_2 & b_2 \\\\ -a_2 & 0\end{pmatrix}
em W. Então
X + Y = \begin{pmatrix}a_1+a_2 & b_1+b_2 \\\\ -(a_1+a_2) & 0\end{pmatrix},
que é novamente da forma \begin{pmatrix}a & b \\\\ -a & 0\end{pmatrix} com a=a_1+a_2 e b=b_1+b_2. Logo X+Y\in W.

Passo 4

Para \lambda\in\mathbb{R} e
X=\begin{pmatrix}a & b \\\\ -a & 0\end{pmatrix} \in W,
temos
\lambda X = \begin{pmatrix}\lambda a & \lambda b \\\\ -\lambda a & 0\end{pmatrix},
que é da mesma forma com a'=\lambda a e b'=\lambda b. Assim \lambda X\in W.

Resposta

W satisfaz os três requisitos de subespaço vetorial, logo é subespaço de V.

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