Efetuar
(\vec{j} \times \vec{k}) \cdot \vec{i}

Passo 1

O enunciado pede para calcular (\vec{j} \times \vec{k}) \cdot \vec{i}.
Informações dadas ou implícitas no enunciado:
  • \vec{i}, \vec{j}, \vec{k} são os vetores unitários da base canônica em 3D (ou seja, vetores de norma 1 apontando nas direções x,y,z).
  • Não há outras condições; devemos usar as propriedades usuais desses vetores.

Passo 2

Vamos recordar propriedades fundamentais que usaremos (sem resolver ainda):
  • Produto escalar entre vetores da base canônica:
\vec{i}\cdot\vec{i}=1,\qquad \vec{j}\cdot\vec{j}=1,\qquad \vec{k}\cdot\vec{k}=1,
e vetores diferentes são ortogonais, logo
\vec{i}\cdot\vec{j}=0,\qquad \vec{i}\cdot\vec{k}=0,\qquad \vec{j}\cdot\vec{k}=0.
Explicação rápida: o produto escalar mede “quanto um vetor aponta na direção do outro”; vetores unitários ortogonais têm produto 0.

Passo 3

Relembrando a definição prática do produto vetorial para a base canônica: podemos calcular \vec{j}\times\vec{k} usando o determinante da matriz cujas primeiras entradas são os vetores da base:
\vec{j}\times\vec{k}= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}.
Aqui a segunda linha (0,1,0) representa \vec{j} e a terceira linha (0,0,1) representa \vec{k}.

Passo 4

Expandindo o determinante por co-fatores (detalhando cada termo):
\vec{j}\times\vec{k} = \vec{i}\cdot\begin{vmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{vmatrix} - \vec{j}\cdot\begin{vmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 1\end{vmatrix} + \vec{k}\cdot\begin{vmatrix}0 & 1\\[4pt]0 & 0\end{vmatrix}.
Agora calculamos os menores:
\begin{vmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{vmatrix}=1,\qquad \begin{vmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 1\end{vmatrix}=0,\qquad \begin{vmatrix}0 & 1\\[4pt]0 & 0\end{vmatrix}=0.
Portanto
\vec{j}\times\vec{k}=\vec{i}\cdot 1 - \vec{j}\cdot 0 + \vec{k}\cdot 0 = \vec{i}.
Comentário intuitivo (opcional): isso também segue da regra cíclica e da regra da mão direita: \vec{i}\times\vec{j}=\vec{k}, \vec{j}\times\vec{k}=\vec{i}, \vec{k}\times\vec{i}=\vec{j}.]

Passo 5

Agora calculamos o produto escalar pedido usando o resultado do passo anterior:
(\vec{j}\times\vec{k})\cdot\vec{i} = \vec{i}\cdot\vec{i}.
Pelo passo 2 sabemos que \vec{i}\cdot\vec{i}=1. Logo o valor é 1.

Resposta

1

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