Mostre que os seguintes subconjuntos são subespaços:
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto
é um subespaço (vetorial). Informações dadas e o que é pedido:
- O conjunto
é formado por matrizes cuja segunda entrada na linha superior e primeira entrada na linha inferior são nulas, ou seja, as matrizes têm a forma para alguns escalares . - A tarefa é provar, passo a passo, que
é um subespaço do espaço das matrizes (vamos entender isso como , o espaço das matrizes com entradas reais). - Não há mais dados; devemos verificar as propriedades que definem um subespaço.]
Passo 2
Lembrete didático: o que significa ser subespaço?
- Um subconjunto
de um espaço vetorial é subespaço se e somente se: -
é não vazio (equivalente a conter o vetor zero). -
é fechado sob adição: se então . -
é fechado sob multiplicação por escalar: se e é um escalar então .
-
- No caso de matrizes, a adição e a multiplicação por escalar são as operações usuais entrada a entrada:
- Nossa estratégia: verificar as três condições acima para
.]
Passo 3
Verificar que
não é vazio (contém o vetor zero).
- O zero do espaço
é a matriz nula - Essa matriz tem, claramente, as entradas
e , logo pertence a . - Conclusão deste passo:
contém o vetor zero, portanto é não vazio.]
Passo 4
Verificar fechamento por adição.
- Tome duas matrizes arbitrárias em
. Pelas hipóteses, existiriam escalares tais que - Some
e usando a adição entrada a entrada: - Observação: as posições
e (ou seja, e ) da matriz soma continuam sendo zero. - Portanto
tem a forma exigida e pertence a . Conclusão: é fechado por adição.]
Passo 5
Verificar fechamento por multiplicação por escalar.
- Tome uma matriz qualquer em
, digamos e um escalar qualquer . - Multiplicando por
obtenho - As entradas
e continuam sendo zero após a multiplicação por escalar. - Portanto
. Conclusão: é fechado por multiplicação por escalar.]
Passo 6
Conclusão final e comentário didático extra.
- Vimos que
contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar. Pelas condições de subespaço, isso basta para afirmar que é um subespaço de . - Comentário útil para a prova: uma maneira prática de pensar em
é que suas matrizes têm apenas duas entradas livres, e . Logo é isomorfo a e uma base natural é formada pelas matrizes porque qualquer elemento de pode ser escrito como . - Isso não era pedido, mas serve para entender a estrutura e, em questões de prova, pode ajudar a identificar dimensão e base rapidamente.]