Mostre que os seguintes subconjuntos são subespaços:
W=\left\{\left(\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right): b=c=0\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto
W=\left\{\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix} : b=c=0\right\}
é um subespaço (vetorial). Informações dadas e o que é pedido:
  • O conjunto W é formado por matrizes 2\times2 cuja segunda entrada na linha superior e primeira entrada na linha inferior são nulas, ou seja, as matrizes têm a forma \begin{pmatrix}a & 0\\[4pt] 0 & d\end{pmatrix} para alguns escalares a,d.
  • A tarefa é provar, passo a passo, que W é um subespaço do espaço das matrizes 2\times2 (vamos entender isso como M_{2\times2}(\mathbb{R}), o espaço das matrizes 2\times2 com entradas reais).
  • Não há mais dados; devemos verificar as propriedades que definem um subespaço.]

Passo 2

Lembrete didático: o que significa ser subespaço?
  • Um subconjunto S de um espaço vetorial V é subespaço se e somente se:
    1. S é não vazio (equivalente a conter o vetor zero).
    2. S é fechado sob adição: se u,v\in S então u+v\in S.
    3. S é fechado sob multiplicação por escalar: se u\in S e \lambda é um escalar então \lambda u\in S.
  • No caso de matrizes, a adição e a multiplicação por escalar são as operações usuais entrada a entrada: \begin{pmatrix}x_{11}&x_{12}\\[4pt] x_{21}&x_{22}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}y_{11}&y_{12}\\[4pt] y_{21}&y_{22}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x_{11}+y_{11}&x_{12}+y_{12}\\[4pt] x_{21}+y_{21}&x_{22}+y_{22}\end{pmatrix},
\lambda\begin{pmatrix}x_{11}&x_{12}\\[4pt] x_{21}&x_{22}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\lambda x_{11}&\lambda x_{12}\\[4pt] \lambda x_{21}&\lambda x_{22}\end{pmatrix}.
  • Nossa estratégia: verificar as três condições acima para W.]

Passo 3

Verificar que W não é vazio (contém o vetor zero).
  • O zero do espaço M_{2\times2}(\mathbb{R}) é a matriz nula 0=\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix}.
  • Essa matriz tem, claramente, as entradas b=0 e c=0, logo pertence a W.
  • Conclusão deste passo: W contém o vetor zero, portanto é não vazio.]

Passo 4

Verificar fechamento por adição.
  • Tome duas matrizes arbitrárias em W. Pelas hipóteses, existiriam escalares a_1,d_1,a_2,d_2 tais que A=\begin{pmatrix}a_1&0\\[4pt]0&d_1\end{pmatrix}\in W,\qquad B=\begin{pmatrix}a_2&0\\[4pt]0&d_2\end{pmatrix}\in W.
  • Some A e B usando a adição entrada a entrada: A+B=\begin{pmatrix}a_1&0\\[4pt]0&d_1\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}a_2&0\\[4pt]0&d_2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a_1+a_2&0+0\\[4pt]0+0&d_1+d_2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a_1+a_2&0\\[4pt]0&d_1+d_2\end{pmatrix}.
  • Observação: as posições (1,2) e (2,1) (ou seja, b e c) da matriz soma continuam sendo zero.
  • Portanto A+B tem a forma exigida e pertence a W. Conclusão: W é fechado por adição.]

Passo 5

Verificar fechamento por multiplicação por escalar.
  • Tome uma matriz qualquer em W, digamos A=\begin{pmatrix}a&0\\[4pt]0&d\end{pmatrix}\in W,e um escalar qualquer \lambda\in\mathbb{R}.
  • Multiplicando por \lambda obtenho \lambda A=\lambda\begin{pmatrix}a&0\\[4pt]0&d\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\lambda a&\lambda\cdot 0\\[4pt]\lambda\cdot 0&\lambda d\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\lambda a&0\\[4pt]0&\lambda d\end{pmatrix}.
  • As entradas (1,2) e (2,1) continuam sendo zero após a multiplicação por escalar.
  • Portanto \lambda A\in W. Conclusão: W é fechado por multiplicação por escalar.]

Passo 6

Conclusão final e comentário didático extra.
  • Vimos que W contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar. Pelas condições de subespaço, isso basta para afirmar que W é um subespaço de M_{2\times2}(\mathbb{R}).
  • Comentário útil para a prova: uma maneira prática de pensar em W é que suas matrizes têm apenas duas entradas livres, a e d. Logo W é isomorfo a \mathbb{R}^2 e uma base natural é formada pelas matrizes E_{11}=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix},\qquad E_{22}=\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix},porque qualquer elemento de W pode ser escrito como aE_{11}+dE_{22}.
  • Isso não era pedido, mas serve para entender a estrutura e, em questões de prova, pode ajudar a identificar dimensão e base rapidamente.]

Resposta

W é um subespaço vetorial de M_{2\times2}(\mathbb{R}).

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